1.
有理數是簡單的數，用來計數的數以及所有能寫成分數的數字都是有理數。但實際上，在數字的王國中，我們熟悉的有理數是少數的存在，絕大多數都是無理數。無理數是那些沒有盡頭、可以永無止盡地持續下去的數字，比如π、√2等等，它們不能被寫成分數，無處不在卻又難以捉摸。
如果我們不能簡單、準確地表述無理數，那麼我們可以如何近似？通常，當我們需要用到這些數字時，會四捨五入地取到它們的某一位小數，例如π通常被取為3.14，等於157/50。但是，另一個分數22/7似乎更接近π的值。如此一來，就引出了一系列問題：究竟這些近似可以多精確呢？這種精確性是否存在一個極限？任意形式的分數都可被用來近似嗎？
1837年，數學家Gustav Lejeune Dirichlet發現，只要你對誤差不太在意，就很容易找到無理數的近似值。他證明了對於每一個無理數來說，都存在無窮多個分數與這個數字相近。從某種意義上看，這是對有理近似的一種狹隘表述：如果用來近似的分數的分母可以是任意整數，且如果可以允許的近似誤差為1除這個以這個分母數的平方，那麼每個無理數都可以近似成無窮多個分數。
但是，如果你希望分母是從整數的某個子集中抽取的數，比如所有質數，或者所有的完全平方數，情況又會如何呢？再比如，如果你想讓近似的誤差是某個特定的值，那麼在這種特殊的條件下，我們是否還能得到無窮多個近似分數？
2.
1941年，物理學家Richard Duffin和數學家Albert Schaeffer提出了一個簡單的猜想來回答這些問題。當要對無理數進行近似時，首先要選一個無限長的分母序列，這可以是一個任意數的列表，比如所有奇數、所有偶數、所有10的倍數，或者所有質數等等的序列。
接著要確定的就是對於列表中的每個數字來說，想要以多高的精確度來近似一個無理數。比如以n/2為形式的分數可以近似任何近似「誤差」在1/10以內的數；以n/10為形式的分數可以近似誤差在1/100以內的任何數。
直覺上看，如果所允許的誤差越大，那麼實現近似的可能性也就越大；允許的誤差越小，那麼實現近似也就變得越難。接下來，就可以基於已經有的分母序列和已經設定好的「誤差」大小，探尋是否能找到無限多個分數來近似所有無理數嗎？
Duffin和Schaeffer根據誤差的大小來度量什麼時候可以這樣做。如果所選擇的誤差總體上足夠小，那麼隨機選擇的無理數就只有有限個好的近似：它可能會落入具有某些特定分母的近似值之間的間隙。但是如果誤差足夠大，就會有無窮多個能產生一個很好的近似分數的分母。在這種情況下，如果誤差也隨著分母的增大而減小，那麼就可以選擇一個儘可能精確的近似值。
因此Duffin和Schaeffer猜想這樣的結果就是要麼你所選的分母列表能以需要的精確度對所有無理數實現近似，要麼就一個也不能近似。也就是說你要麼能得到所有，要麼一無所有，不存在中間地帶。
這在有理近似中是一個非常普遍的表述，數學家大多認為Duffin和Schaeffer提出的標準是正確的。然而，要證明它的正確性卻要困難得多，這個問題的證明也成為了數論中的一個具有裡程碑意義的開放性問題。
3.
假如你現在想要近似所有0到1之間的無理數，你選擇用的分母是1到10之間的整數，那麼可用的分數就是：1/1、1/2、2/2、1/3、2/3……9/10、10/10。但是在這些分數中，有些數字是重複的，比如2/10=1/5、5/10=1/2等等。
因此，在Duffin-Schaeffer猜想中含有一個專門用來計算每個分母可以給出的唯一分數（最簡分數）的數量的項，這個項被稱為歐拉函數。比如10的歐拉函數是4，即1/10、3/10、7/10和9/10這四個數字。接下來是要計算出每個最簡分數可以近似出多少無理數，這取決於可允許的誤差大小為多少。
一旦確定了分數並設置好了誤差大小，就可以開始尋找無理數了。我們可以在一條0到1的數軸上標記出這些分數，再把誤差項描繪成從分數兩邊延伸出來的「網」。根據設定的條件，所有被網住的無理數都得到了很好的近似。那麼接下來的一個大問題就是：被網住的無理數究竟有多少個？
首先，在一條數軸上的任意區間內都包含著無窮多個無理數，因此我們無法用一個精確的數值來表述被網住的無理數數量。所以數學家轉而研究被每個分數網起來的無理數總數的比例。Duffin-Schaeffer猜想是把每一個近似分數所網住的無理數集合的比例相加：如果這個和趨於無窮，那麼就意味著已經近似了所有無理數；如果這個和停在一個有限的值上，那就意味著你沒有對實現任何無理數的近似。因此，這是一個關於無窮序列究竟是發散還是收斂的問題。
終於，2019年夏，來自牛津大學和蒙特婁大學的數學家James Maynard與Dimitris Koukoulopoulos在arXiv上發表了他們的證明，讓這個存在了近80年的難題得到了解決。
4.
Maynard是一個數論學家，他通常的研究課題與質數有關。在Maynard與Koukoulopoulos之前，多數相關研究都把這個問題歸結為分母的質因數問題。但Maynard建議把這個問題看作是數字上的陰影：比如在一根數軸上，把分母為100的分數附近的所有無理數都塗上顏色，如果誤差足夠大，那麼每一個其他以其他數字為分母的分數也可能覆蓋這些無理數，這樣一來，幾乎每一個無理數都會被著色無數次，如此不就導致了重複計數嗎？
對某些近似數來說，這種重複計數的問題並不大，比如分母是由質數組成的分數。但對分母為其他的序列的情況來說，重複計數就會帶來很大的挑戰。當兩個分母有很多相同的質因數時，就會出現這種重複計數的情況。例如，分母10和100都有質因數2和5，能以n/10的分數形式近似的數與能以n/100的分數近似的數具有高度的重疊區域。
Maynard和Koukoulopoulos借用一堆點的圖形解決了這個難題，不同的點代表了用來近似的分母，如果兩個點有許多共同的質因數，就將這兩個點連接起來。如此一來，圖的結構就編碼了這些分母所近似的無理數之間的重疊。利用這種方法，他們不僅為這個猜想提供了證明，而且還能為其中所涉及到的結構問題提供清晰的可視信息。
數學家們認為，Maynard和Koukoulopoulos取得了數學上最難的一項成就之一。不過鑑於二人所發表的證明長達44頁，並且非常複雜，其他數學家可能還需要幾個月的時間才能全部理解這種方法中的所有細節。