天才少年
數學界大放異彩
每三年才評選一次的數論界最高獎「柯爾獎」，在今年頒給了詹姆斯.梅納德（James Maynard），以表彰他對素數理論的諸多貢獻。
柯爾獎：美國數學學會授獎，分為數論獎和代數獎。它不是國際化獎項，只頒發給學會成員，且在美國期刊上發表過出色文章，被譽為數論界的最高獎。
說起詹姆斯.梅納德，這就是一位「天才少年」，他在22歲取得了劍橋大學的碩士學位，26歲獲得了牛津大學的博士學位，33歲就已經成為牛津大學的一名研究教授。
孿生素數猜想
也許大家看到「柯爾獎」覺得有些陌生，超模君也是在2014年才開始對它印象深刻，因為那一年這個獎項頒給了華裔數學家張益唐，用以表彰他證明了弱化版本孿生素數猜想。
孿生素數猜想是數論中著名的尚未解決的問題，相差2的一對素數即是孿生素數，比如：3和5，5和7，11和13.......它可以被描述為：存在無窮多個素數P，並且對每個P而言，P+2這個數也是素數。弱孿生素數猜想：對所有自然數K，存在無窮多個素數對（P，P+2K）。當K=1時是孿生素數猜想，當K等於其他自然數時就稱為弱孿生素數猜想。
關於素數，故事要追溯到兩千多年前，古希臘數學家歐幾裡得給出了自己的證明：素數有無窮多個。
從小就愛數學的我們，可以很快把100以內的素數列舉出來：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73 ，79 ，83，89，97
這些素數起初看起來很密集，但是隨著素數的增大，彼此之間的距離漸漸變遠，而孿生素數的出現距離也跟著變得更遠......
素數分布距離沒有規律，要想找到一個大素數，加上分解和驗證，都需要大量的計算。千百年來，孿生素數猜想成為了數學家無法攻克的難題。
2013年，58歲的張益唐成功證明了存在無數對孿生素數，而且其中每一對的孿生素數之差不超過7000萬，把孿生素數的距離從無限變成了有限。
張益唐憑藉著這個證明，獲得了數論界最高獎「柯爾獎」。就在他證明「孿生素數猜想」不久，年僅26歲的詹姆斯.梅納德將猜想中素數間隔的上限由7000萬降到了600，極大優化了張益唐的證明結果。
詹姆斯.梅納德的證明方法一問世就震驚了數學界，華裔數學家陶哲軒感慨地說：
「說實話，他的描述方式實際上比我的更乾淨，事實證明他的方法還略強。」
其實，證明的過程並不是一帆風順的，詹姆斯.梅納德後來回憶說：
「很長一段時間，我們都在這一問題上一籌莫展，寸步難行，任何新見解的出現都會讓人激動不已。」
但是，他最終還是做到了，這就是數學家的堅持，超模君佩服！
Duffin-Schaeffer猜想
就在詹姆斯.梅納德獲得「柯爾獎」前不久，他又成功證明了一個困擾數學界80年的難題——Duffin-Schaeffer猜想。
Duffin-Schaeffer猜想：1941年由物理學家Richard Duffin和數學家Albert Schaeffer提出，它是數論中關於丟番圖逼近中一個重要猜想。所謂丟番圖逼近，是數論的一個分支，研究的是用有理數逼近實數。
我們可以簡單的理解為用「分數」的形式逼近某個數，達成「近似表達」。
比如π是一個無理數，它可以籠統的用
這個簡單的分數完成近似表達。
無理數，有著無限不循環的小數，不能準確的表達為分數的形式。一些重要的無理數有了自己的專門符號，如 π 、 e 及 √2, 等，而更多的則以無名的形式散布在我們的生活當中。
那麼類似的無理數，還有沒有可能也用分數的形式進行表達呢？甚至逐漸逼近，更加精確？
於是這個問題就變成了：不能準確表達，那麼到底能精確到什麼程度？
詹姆斯.梅納德在他和同伴的證明論文中，把這個猜想描述為：
「存在一個簡單的判定條件，可以判斷你能夠找出幾乎所有數的近似值，或幾乎找不到任何數的近似值。」
來自牛津大學的本.格林教授談到這個問題時說道：
「很難寫下π的定義，人們通常取而代之的是尋找π的特定近似值，一種常見方法就是利用有理數來近似。」
千百年來，數學家們為此絞盡腦汁，不停計算，不斷逼近：
1913年，拉馬努金在手稿內用355/113當作π的近似值
其實，如果你對誤差大小不太在意，找到一個近似值很容易。但是數學家，他們對自己熱愛的往往表現出過分的執著。
1837年，數學家迪利克雷發現了無理數用有理數近似時的誤差大小法則：
對於每一個無理數都存在無限多個分數可以越來越精確地近似表達該無理數。
換句話說：每個近似分數和無理數之間的誤差不超過1除以分數分母的平方，隨著分母的增大，存在無限多的分數值和π越來越接近。
比如：
22/7和π之間的誤差不到
335/11和π之間的誤差不到
詹姆斯.梅納德團隊針對Duffin-Schaeffer猜想選擇了一種新的證明方法。選出了一個無限長的整數數列，這個數列可以包括任何你想要的整數，充當分母。
在數軸上任一區間內都存在無限個無理數
允許你為數列上每一個分母定義一個誤差值，例如要求分母為3的分數誤差為0.02，或者分母為5的分數允許誤差0.01。
選好誤差值
如果誤差可以覆蓋整條數軸，那麼所有的無理數都可以被這組分母近似表達。
如果選出的分數群相互之間靠的很近，誤差區間有很多重疊的地方，就意味著有很多無理數不能被覆蓋。
在Duffin-Schaeffer猜想中，有一個關鍵點在於：
對於一組擁有很多小公共質因數的分母，找出一種方法來精確量化它們可以近似表達的無理數集之間重疊的程度。
這也是這個猜想80年來難住了數學家們的原因。現在，梅納德和他的同伴用了一種新的方法解決了這個問題。
這張圖將擁有大量公共質因數的分母分別連接起來，數學家可以通過分析圖內存在的結構來證明：即使分母之間存在大量質因數，Duffin-Schaeffer猜想依然成立。
詹姆斯.梅納德對數字有著超乎尋常的熱愛。在他眼裡，這些無理數中的小數點後的數字就像一隻只小動物，而這個小數點就是一個牢籠，牢籠困住了它們。
他說：「我非常幸運，得到了支持和鼓勵，從小我就對數學產生了濃厚的興趣。我的父母總是鼓勵我遵循自己的興趣，而我的老師則允許我發展自己的獨立品味。」
他這種對數字與生俱來的敏感，使他在數論界大放異彩。
2014年，詹姆斯.梅納德獲得SASTRA拉曼努金獎2015年，獲得倫敦數學學會懷特海獎2016年，獲得歐洲數學學會獎2014年至2016年間的Compositio獎2018年，國際數學家大會擔任演講嘉賓2020年，獲得美國柯爾獎
數論一直以來被大眾認為是枯燥的，又因為在實際問題中缺乏實用性，屬於數學中比較冷門的一支。
當詹姆斯.梅納德談到這些數字時，他眼睛裡綻放著璀璨的光亮。
在得知自己獲得「柯爾獎」後，詹姆斯.梅納德回應說：「我為解析數論領域目前正被許多人提出的新想法而振興感到興奮，希望這一獎項可以激勵更多的數學家繼續保持勢頭，並發現有關素數的更多發現。」
參考文章：
https://www.quantamagazine.org/new-proof-settles-how-to-approximate-numbers-like-pi-20190814/
作者簡介：超模君，數學教育與生活自媒體博主，新晉理工科奶爸。出版過《芥子須彌 · 大科學家的小故事》；《數學之旅·閃耀人類的54個數學家》。後續數學文化創意多多，歡迎關注認識！