π真的是一個無理數嗎?

2021-03-01 羅博深數學

作者 | Jason

編輯 | 羅數君

文 1793字  閱讀時間約 15分鐘

導語:


今天我們所嘗試的證明,雖然用到了一些高等數學中泰勒展開的知識,但非常巧妙,且容易理解。作為數學愛好者的你,想不想嘗試著看看這個巧妙的證明!

自從小學接觸圓以來,π就成為我們數學學習中一個重要的數字。我們都知道,圓的周長和直徑的比是π,也知道圓的面積也與π有關。但與此同時,π又是一個有些神秘的數字,它無法用一個分數表達出來,且尾數無窮無盡。漸漸地,隨著我們對數學更深入的學習,我們知道了π和e與根號2一樣,是無理數大家庭中的一員。然而我們應該如何嚴謹地證明π是無理數呢?乍一想,我們似乎從來沒有思考過π是無理數這個問題。其實π是一個無理數的證明並沒有想像中那樣簡單,很多的證明都需要用到高等數學的知識。今天我們所嘗試的證明,雖然用到了一些高等數學中泰勒展開的知識,確實非常的巧妙,也比較容易理解,作為數學愛好者的你,想不想嘗試著看看這個巧妙的證明!在這個證明中,我們用到了不少反證法。首先讓我用一個簡單的例子幫助大家了解反證法的妙用。當我們想證明:對於所有的整數n,如果n³+5是奇數,那麼n一定是偶數時,當然,我們可以直接證明,但從n³+5是奇數推出n是偶數似乎並不是那麼的直觀。所以我們在這裡可以使用反證法:我們假設n和n³+5同為奇數,這樣,我們知道一定存在整數k和j來表示n與n³+5:n³+5=2k+1和n=2j+1。通過一些簡單的代數計算,我們可以得到:

這裡,我們可以看到等式的左邊所有的項都是整數,所以整數的加減運算後一定會得到一個整數,而等式的右邊是一個分數,於是我們知道這樣的等式是不會存在的。我們成功找到了反論題的虛假,於是得到若n³+5是奇數,那麼n一定是偶數。想必大家一定覺得這個問題非常簡單,下面讓我們直接進入到π是無理數的證明,我們會將這個證明分成三部分:第二部分:證明若x是非零的有理數,tan(x)是一個無理數我們又知道,tan(x)=sin(x)/cos(x),所以:看到分母分數中的分母和分子的第一項有一樣的了嗎?我們可以進一步化簡:
我們可以使用同樣的方法進行化簡:第二部分需要證明若x是非零的有理數,tan(x)是一個無理數。我們已經在上一部分已經證明了tan(x)可以用一個連分數表示。既然x是一個非零的有理數,我們可以將x表示成u/v,u,v為整數。我們現在可以將tan(x)表示成:我們現在將分子分母同時乘以v,這裡大家需要小心一些,因為連分數的計算會稍稍有一些複雜,我們得到:這一步的證明中最關鍵的一點是發現連分數分子中u和u^2是不變的,而分母1v,3v,5v… 則在不斷的增大。在某個時候,不斷變大的分母將一定會比分子大。實際上,所有有這樣性質的連分數都是無理數,我們在下面嘗試用通俗的方法來證明一下:因為我們不知道u和v的真實大小,也就並不知道(2n+1)v什麼時候會比u^2大。我們可以假設5v大於u^2。這樣我們可以得到:我們知道5v比u^2要大,這樣我們也知道7v比u^2要大,相同的,我們可以得到:現在,我們可以使用反證法。為了證明原式3v之後的連分數是無理數,我們假設它是一個有理數,這樣這個數就能被一個分子分母都是整數的分數表示出來。我們得到:我們知道A和B都是整數且A>B>0,將這個式子重新整理一下,得到:我們還知道A, B, u和v都是整數,這樣,等式左邊分母也是一個整數,將這個分母用C來代替,就可以得到:同時,因為連分數由無窮多項組成,我們使用相同的分析,可以得到無窮個正整數滿足:這裡,我們就成功地找到了反論題的虛假,這是因為不可能存在無窮個遞減的正整數。這樣,我們證明了表示tan(x)的一系列連分數中,一定存在無理數。這樣,這個分數也是一個無理數,所以,我們就成功證明了當x是非0的有理數的時候,tan(x)是一個無理數。第三部分的證明再一次運用到了反證法,但這次卻非常的直觀。有興趣的讀者可以自己先想一想再往下閱讀。這裡,我們已經在第二部分證明了當x是非0的有理數的時候,tan(x)是一個無理數。我們一定知道:假設x = π/4是一個有理數,這樣,從第二部分的證明中我們就可以得出tan(π/4)是一個無理數。然而tan(π/4)= 1。但1顯然不是無理數,這樣,通過反證法,我們可以得到π/4是一個無理數,

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    但直到兩百多年前,圓周率是無理數才被德國數學家蘭伯特所證明。所謂的無理數是指無法用分數表示的數,只能寫作無限不循環的小數。當年,蘭伯特發現,tan(x)可用如下的連分式展開表示:然後,他證明了倘若x是非零的有理數,那麼,上述表達式肯定就是一個無理數。
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