證明sin1°和√2+√3+√5+√7是無理數

2021-01-14 上海初高中數學

昨天發布了「tan1°是無理數」的證明思路（證明過程其實並不完整）後，很多朋友都來了興致，探討起「sin1°是無理數」和「cos1°是無理數」的證明


也有給我留言的，其中一個讓我很有興趣，√2+√3+√5+√7是無理數，我一看是六年級學生講的，以為很簡單，卻讓我思索良久，還是很有意思的，現整理出來，分享給大家，讀者也可先思考一遍，再看解題思路



☆ 證明√2+√3+√5+√7是無理數


昨天也有同學提到了√2的證明，也有說我昨天的證明不完整的（因為沒證明√3是無理數），所以本文先將這四個無理數先單獨證明一下，全文均是反證法，全文均只提主要思路，不完整證明


1. 證明√2是無理數


這個很多書上都有，很多人對反證法的認識也是從這個證明開始的，假設√2是有理數，即√2可以寫成分數，設

所以m²=2n²，所以m為偶數，令m=2k

4k²=2n²，2k²=n²，那麼n也是偶數

與「m，n互素」相矛盾，假設不成立

即√2是無理數


2. 證明√3（或√7）是無理數


我起初認為這個和√2是一樣證明的，所以從未認真思考過它的證明，今天細細想來，也是費了些時間的，同樣設

m²=3n²，若m為偶數，n也為偶數

不滿足互素的條件，

所以m為奇數，n為奇數

m²-n²=2n²，即(m+n)(m-n)=2n²

(m+n)為偶數，(m-n)為偶數

不妨設m+n=2p，m-n=2q，

所以4pq=2n²，n²=2pq

與「n為奇數」相矛盾，假設不成立

所以√3是無理數

（√7的證明過程類似，不另分析）


3. 證明√5是無理數


這個因為5的性質，而變得簡單一些，設

m²=5n²，m是5的倍數，n也是5的倍數

不滿足m、n互素，假設不成立

所以√5是無理數


4. 證明√2+√3是無理數


要知道，無理數＋無理數不一定是無理數

證法一：取倒，有理化

假設√2+√3是有理數，那麼它的倒數也是有理數

有理數＋有理數還是有理數

即(√3-√2)+(√2+√3)也是有理數

而2√3是一個無理數，矛盾，假設不成立

所以√2+√3是無理數

證法二：平方

假設√2+√3是有理數，那麼它的平方也是有理數

(√2+√3)²=5+2√6，化歸為一個根號

而有理數+無理數=無理數，矛盾，假設不成立

所以√2+√3是無理數

（其他兩個根號相加減，類似證明）


5. 證明√2+√3+√5是無理數


這個起初是想直接平方做，

但平方後根號的個數並沒有減少

於是就聯想到移項後，再平方

假設√2+√3+√5=a，a是有理數

(√2+√3)²=(a-√5)²

5+2√6=a²-2a√5+5

2√6+2a√5=a²，化歸為兩個根號類型

再次平方，24+20a²+8a√30=(a²)²

8a√30=(a²)²-24-20a²，化歸為一個根號

等式左邊為無理數，右邊為有理數，

矛盾，假設不成立

所以√2+√3+√5是無理數

（其他三個根號相加減，類似證明）


6. 證明√2+√3+√5+√7是無理數


進入我們的正題了

這個起初想了很久，遲遲不敢平方，

因為平方後，根號的個數沒有減少

以為平方的方法在這種情況下不適用

後來抱著試一試的心態，平方了，

忽然就柳暗花明，豁然開朗

同樣假設√2+√3+√5+√7=a，a為有理數

同樣移項平方，(√2+√3+√5)²=(a-√7)²

10+2√6+2√10+2√15=a²+7-2a√7

再次移項平方，(2√6+2√10+2√15)²=(a²-3-2a√7)²

展開124+40√6+24√10+16√15=(a²-3)²+28a²-4a√7(a²-3)

上面兩式可消去一個根號，

化歸為三個根號的問題，

思路就和「證√2+√3+√5是無理數」一樣了

這裡就不另行再證了，過程省略



☆ 證明sin1°是無理數


然後再來看第二個問題，

證明sin1°和cos1°是無理數，

首先還是假設sin1°是有理數，

根據三倍角公式，sin3°=3sin1°-4sin³1°

（三倍角公式可用sin(x+2x)去推導）

可知sin3°是有理數，

根據二倍角公式，cos6°=1-2sin²3°

可知cos6°是有理數，

再根據三倍角公式，cos18°=-3cos6°+4cos³6°

可知cos18°是有理數

而cos18°我們可以計算出來是無理數

矛盾，所以假設不成立，

即sin1°是無理數


cos1°的證明類似，假設cos1°為有理數

根據三倍角公式即cos3°為有理數

在根據二倍角公式，即cos6°為有理數

解下來的思路過程和上面一樣了

不再贅述，所以cos1°也是無理數


最後，我們說明一下cos18°的求法

根據sin36°=cos54°，用三倍角公式

2sin18°cos18°=-3cos18°+4cos³18°

2sin18°=-3+4cos²18°

2sin18°=-3+4-4sin²18°

4sin²18°+2sin18°-1=0

求根公式，解得sin18°=(-1+√5)/4

再由三角比關係得：


用高中以內的方法慢條斯理，抽絲剝繭去分析這些問題，其實很有趣，正難則反，化歸思想的充分運用，感受數學的美妙，當然，下面這個，用高中方法我是如何也不會的了，哈哈



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