伽瑪函數積分與自然常數e的無窮級數之間的重要關係

2020-12-04 電子通信和數學

後續系列涉及的都是高等數學的內容，本篇討論伽瑪函數積分的一些應用

首先e的無窮級數形式如下圖

這個級數可以寫成如下圖分數的樣式，分母可以是任意一個整數的階乘，INTEGER是整數的意思，SMALL是小數的意思，這是一個非常重要的式子，它證明了e不是有理數（前面的很多文章都說明了這一點）

如果分母越大，SMALL表示的小數就越小，這個很容易理解

同理，e^2,e^3都可以寫成分數的樣式。

前面的文章《數學經典：伽瑪函數的原理及發現》已經證明了伽瑪函數，這個神奇的公式說明了任何數的階乘都可以求出來

如果我們在伽瑪函數中加入一個有關x的整數系多項式p(x)，展開後這其實就是一坨的伽瑪函數積分的和，所以這個含有多項式的積分也是整數，你明白了嗎？

展開後每個積分的X次方都至少是n，所以整個積分的結果就是n！乘以一個整數

我們已經知道了e的任意次整數冪都可以寫成分數的形式，如果e的次數改為x，那麼可以設

p(x)=e^x, 那麼就存在如下的重要結果，這個整數恰好是分母A,且為整數

相關焦點

  • 數學高難度系列:證明伽瑪函數積分的一些重要推論
    伽瑪函數積分與自然常數e的無窮級數之間的重要關係》其中p(x)是關於x的整數系多項式，此外有關e的無窮級數都可以寫成分數形式，其中分母均為A，如下圖樣式，將p(x)放入到伽瑪函數積分中，其結果是一定是一個整數，這個整數我們假設等於A我們將e^3寫成如下傻瓜的樣式，將這個傻瓜式的變換帶入到上式的伽瑪函數，如下圖所以得到如下樣式
  • 談談:自然常數e與伽馬函數之間的美妙關係
    上篇文章談到《e與一元三次方程的根的關係》，為了證明e不是一元三次方程的根，必須了伽馬函數的本質原理，才能解答。本篇重點介紹自然常數e與伽馬函數之間的關係。總的來說，這個等式說的是n！等於函數x^n*e^(-x)與X軸圍城的面積，從x=0一直到無窮（這個等式根據前幾篇證明e是超越數和無理數的相關文章很容易得到，在此不做證明）例如n=2時函數圖形，橙色的面積等於2！n=4時函數圖形，橙色的面積等於4！
  • 證明e是超越數的前奏:e在一元三次方程中的情形
    早期的文章僅用e的無窮級數形式，證明了e是無理數，既簡單又直觀，但對於證明e是超越數是非常的複雜和困難的，首次證明e的超越性是由法國大數學家埃爾米特，這位數學家卻因大學數學考試從不及格，卻又在大學時期就提出滲透數學各個領域的定理，矩陣，公式而聞名於世。
  • 你知道歐拉是如何發現自然常數e和有關它的無窮級數的?
    我們知道a大於1時，a的冪隨著a的增加而增加，當ω等於0時（可理解為趨於0時），a^0=1，所以這個指數可以寫成1加上某個函數，這是一個具有開創性的思維，非常值得學習，繼續延伸這一思路，如果ψ不是無窮小，那麼ω就不是無窮小，所以ψ可以寫成ψ=
  • 數學常數e
    自然常數e和圓周率π、黃金分割數φ一起被稱為「三大數學常數」。e作為重要數學常數之一，常出現於數學和物理學之中。
  • 常數項無窮級數的性質
    所謂的常數項無窮級數，簡而言之，就是數列各項之和。可用下式表示常數項無窮級數：從常數項無窮級數表達式很自然就能延伸出這樣個問題：常數項無窮級數是否收斂？下方的極限將這個問題與數列極限聯繫起來：如果極限S存在，則數列收斂，否則數列發散。其中Sn為部分和數列，即數列的前n項之和。常數項無窮級數收斂的定義就是：如果極限S存在，則數列收斂。
  • 無窮級數,微分方程.常數變易法.
    #無窮級數#高等數學精髓出自貼吧大神baqktdgt，饕餮盛宴+冪級數求和函數sum(n,0,∞)((2n)!!
  • 2020山東專升本考試:無窮級數
    2020山東專升本考試：無窮級數 有很大一批人因為數學差而對專升本望而卻步，其實數學沒有那麼可怕。而高數又是重中之重，下面帶大家一起梳理一下高數重要考點知識點。今天山東中公教育小編就整理分享：2020山東專升本考試：無窮級數的相關內容，希望對大家有所幫助。
  • 無窮級數:傅立葉級數原理概述
    數學中，無窮級數非常重要。它們廣泛用於計算器和計算機中。工程和科學中研究的許多現象本質上都是周期性的，例如。交流電路中的電流和電壓。可以通過傅立葉分析將這些周期函數分解為單個的組成成分（諧波）。這些特殊的三角函數的總和稱為傅立葉級數。傅立葉級數真的很有趣，因為它使用了您以前學過的許多數學技術，例如圖形，積分，微分，求和符號，三角學等。如果您遇到困難，希望這篇簡易的文章對你有所，首先了解下最基本的級數形式我們知道用泰勒級數如何將許多函數（如sin x，Inx，e^x等）重新表達為具有無限數量項的多項式。
  • 自然常數e到底有多少秘密？數學家歐拉、高斯等也沒研究透徹
    定理中的兩個重要概念——質數與自然常數e，一個屬於數論範疇，另一個（lnx中的自然常數e）則隸屬於分析學。「質數定理」將兩個看似毫無關聯的數學分支—— 「數論與分析」緊密聯繫在了一起。二、自然常數e變得重要起來伯努利家族以「盛產」物理學家、數學家而聞名，約翰·伯努利和雅克比·伯努利兩兄弟都是伯努利家族中最著名的一員。
  • 無窮級數的概念和性質
    無窮級數是高等數學的一個重要組成部分，它是表示函數研究函數的性質以及進行數值計算的一種工具。本章先討論常數項級數,介紹無窮級數的一些基本內容，然後討論函數項級數，著重討論如何將函數展開成冪級數和三角級數的問題。
  • 自然常數e為什麼這麼重要?
    我們知道，自然界有一些十分重要的常數，如0，1，i，π，e等，它們的存在很大程度上影響了我們的學習與生活，今天我們就來深度挖掘一下，自然常數e為什麼這麼重要？在回答自然常數e為什麼這麼重要之前，我們首先要問，自然常數e是什麼？簡單搜索一下可以發現，百度百科裡面是這麼解釋的：自然常數，是數學科的一種法則。
  • 由牛頓二項式定理得到指數函數的無窮級數 - 電子通信和數學
    用現代的眼光看牛頓二項式定理簡單而美妙，但最初的數學家用它卻得到許多函數的無窮級數，這不但需要高超的數學技巧，更需要靈活的數學思維。本篇將要闡述的指數函數的無窮級數就是其中一例。當a大於1時，a的冪隨a的增加而增加，當數ω是一個無窮小時，a^ω=1,所以我們可以將a的冪寫成如下的等式關係當ψ不是無窮小時，ω就也不是無窮小，所以ψ和ω關係有三種：ψ=ω，ψ>ω，ψ<ω,所以我們可以假設ψ=Kω我們繼續得到根據二項式展開得到令i=z/ω,其中z為有限數，ω是無窮小，則i就是無窮大，ω=z/i就是一個分母為無窮大的分數
  • 高數複習重點解析之——微分方程與無窮級數
    針對考生需求，教研老師精心準備了2014年暑期考研數學複習重點解析，以下是高數微分方程與無窮級數部分，供參考。 一、微分方程 微分方程可視為一元函數微積分學的應用與推廣。該部分在考試中以大題與小題的形式交替出現，平均每年所佔分值在8分左右。常考的題型包括各種類型微分方程的求解，線性微分方程解的性質，綜合應用。
  • 數學家是如何研究分數函數的無窮級數的
    萊昂哈德.歐拉，雅各布.伯努利 棣莫弗對無窮級數問題做了深入研究，他們都是處理無窮級數的高手。我們來看看數學家是如何處理無窮級數和函數之間的關係的。我們來看一個簡單的分數函數用一般的方法：連續進行除法運算可以把分數化解為關於Z的無窮級數，明顯是一個幾何級數我們也可以用比較係數法，令兩邊乘以分母得到展開得到比較0次冪的係數得到a=ɑA，那麼Z的其餘各次冪的係數都是0得到可以看出我們知道了任何一個係數都可以求出它後面的一個，例如求出了A，從它我們依次求出了
  • 自然常數 e 的故事
    E(自然常數, 也稱為歐拉數)是自然對數函數的底數. 它是一個無理數, 就是說小數點後面無窮無盡, 永不重複. 與 Pi 和 sqrt(2) 不同, 它不是由幾何問題上探究而來的, 而是關於增長率和變化率的常數. 但是它為什麼和增長率有關呢? 讓我們回到來 17 世紀, 看看發現 e 最初的問題與相關的兩位大數學伯努利和歐拉吧.
  • 無窮級數,常微分方程,指數級數,冪級數求和.
    #數學分析#HLWRC高數不定積分求導驗證，鄉下話niaiwaha(你愛蛙哈)=聽來=梨比=隨便他。#無窮級數#冪級數求和函數，sum(n,0,inf)(x^(3n+1)/(3n+1)!)，常微分方程同理可得特徵方程，指數級數自造自解...  http://t.cn/A6bQ999K。。微博@海離薇。關注我就屏蔽我吧。。。。
  • 無窮級數冪級數求和函數2.
    #無窮級數#冪級數求和函數sum(n,0,infinity)((-1)^n)(x^n)/(2n+1)分段函數分三段，arctan√x/sqrt(x)先導後積，ln((1+x)/(1-x))牛頓萊布尼茨公式。#數學分析#Σx^(2n)/(2n)!家鄉話搞出微分方程特解，哇噻我找到了chx的導數是shx...  http://t.cn/A6bW8LK5 ​​​。關注微博就屏蔽我吧@海離薇。。
  • 你知道自然常數e有多麼的無理嗎?
    自然常數e的性質有很多，首先它的無理性是當時數學家們首先要解決的，本篇就來談一談e是有多麼的無理，既然選擇了通向無理的徵程，就讓我們開始吧。你可以試著動筆去算一算，寫一寫，練一練所以假設自然常數e是有理數的話，他就可以寫成兩個整數之比，根據這個假設可以得到e是在有理數情況下的一些結論最後根據數學中通用的反證法，發現這些結論與假設又是矛盾，最後得出e不是有理數
  • 自然常數e到底是個什麼東西?
    自然常數e，是一個無理數，也是超越數，其值為2.71828……e被稱為歐拉數，以瑞士數學家歐拉；也被稱為納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進了對數。第一次提到自然常數e，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利。第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。