銜接上一篇《伽瑪函數積分與自然常數e的無窮級數之間的重要關係》其中p(x)是關於x的整數系多項式，此外有關e的無窮級數都可以寫成分數形式，其中分母均為A，如下圖樣式，將p(x)放入到伽瑪函數積分中，其結果是一定是一個整數，這個整數我們假設等於A
我們將e^3寫成如下傻瓜的樣式，
將這個傻瓜式的變換帶入到上式的伽瑪函數，如下圖
所以得到如下樣式
根據已經掌握的微積分知識，上述公式可以拆分成兩個積分公式
所以有如下兩個重要結果，我們就來證明如下的結果，為什麼
首先第一個，你必須知道一個重要的極限n趨於∞時：x^n/n!=0，況且x的區間式0-3之間，所以這個定積分的結果可以理解為非常非常小
最難的時分析如下積分，如何證明這個這個積分的結果是一個整數。
這個積分中的X是從3開始的，可以理解為向左移動了3個單位，可以看成是一個新的積分
為了讓x從0開始，我們將x向左平移3個單位，如下圖
帶入式子中，就是如下的結果
式子中x^n被(x+3)^n替代了，而p(x)可以是任意整數系多項式，所以p(x)可以等於如下圖
我們繼續進行換元，如下圖
將變換的結果帶入到式子中，
而藍布部分仍是一個整數系多項式，所以結果就是一個整數
我們就證明了這個神奇的結論。伽瑪函數和無窮級數e之間的奧秘就在於此。