多元函數積分學是定積分概念的推廣，包括二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。它們所解決的問題的類型不同，但解決問題的思想和方法是一致的，都是以「分割、近似、求和、取極限」為其基本思想，它們的計算最終都歸結為定積分的計算。
事實上，微積分創立之初牛頓和萊布尼茨就已經涉及到了偏微分和重積分的概念，但是由於當時微積分的理論基礎還不完善，因此當時關注的重心在一元函數微積分。進入18世紀後，微積分的理論得到不斷的完善和發展，許多數學家在一元微積分的基礎上，開始研究多元函數偏導數理論和多重積分理論。
牛頓當初牛頓在關於萬有引力的計算中用到了多重積分的思想，但在整個推導過程中，牛頓採用了類似《幾何原理》中的引理、證明等方法，用了較多的篇幅才證明了萬有引力公式。
《自然哲學之數學原理》萬有引力推導中在今天，我們利用矢量運算和微積分相關知識很容易就能推導出來結論，那麼，牛頓作為微積分的創立者為何不直接利用微積分而採用幾何論述呢？我認為大概有一下兩方面的原因：
微積分成立初期，理論還不夠完善；為了讓其他的數學家能夠看懂，當時微積分的思想還沒有被大家廣泛接受。在《自然哲學之數學原理》這本書中，牛頓的簡單地提到了他新發現的微積分，但他終究沒有直接利用微積分這一強有力的工具直接去計算。或許他用微積分方法解決過一些他在書中的問題，然後又改用傳統的幾何形式表達出來，又或許當時的他認為傳統的幾何方法才是標準的演示和證明方法，進入18世紀後，牛頓的工作被人以分析的形式推廣。
1748年，歐拉用累次積分計算出了一厚度為δc的橢圓薄片對其中心正上方一質點的引力的重積分
積分區域橢圓x/a+y/b=1.
1770年左右，歐拉已經能夠計算二重積分的一般步驟，他以累次積分的方法計算二重積分，並明確表述二重積分的概念和二重積分的符號「∫∫」，他將二重積分轉化為二次積分，並討論二重積分的變量置換問題。
《積分學原理》第三卷1772年，歐拉的得意門生拉格朗日在關於旋轉橢圓的引力的著作中，引入了三重積分的概念和三重積分的記號∫∫∫，在他的一篇關於旋轉橢球體的引力的著作中，就用三重積分表示引力，並開始了多重積分變換的研究。
1828年，奧斯特羅格拉茨基（Octporpajickh）在研究熱傳導理論的過程中，證明了關於三重積分和曲面積分之間關係的公式——奧-高公式（又稱高斯公式）
1828年，格林（Green）在其私人印刷出版的小冊子《關於數學分析應用於電磁學理論的一篇論文》中，為了推動位勢論的進一步發展，建立了著名的格林公式，格林公式(Green)表達了平面區域上的二重積分與沿著該區域的邊界閉曲線積分之間的關係。
18世紀是微積分完善和發展的重要時期，一方面微積分的基礎不斷完善，積分技術和方法也在不斷提高；另一方面微積分由一元函數推廣到多元函數。重積分相關理論是積分學的進一步完善和擴充，為現代數學的發展和微積分的應用打下來堅實的基礎。
以上內容均來自於@數學漫談 的專欄《20小時玩轉微積分》中，本專欄致力於微積分知識的推廣，從數學思想入手，帶你領略數學文化，感受數學魅力！如需全文閱讀，可以點擊右下角的專欄課程了解更多內容。