用積分符號下的微分:推導出伽瑪函數

2020-12-04 電子通信和數學

費曼是一個天才的物理學家，它在數學領域的建樹也很多，特別是它發現的路徑積分將成為大學理工科必備的數學工具。本篇我們用費曼的另一項小發明積分符號下的微分導出歐拉的階乘公式

一個老問題是將階乘函數擴展到非整數參數。歐拉解決了這個問題，他發現了n!的公式！我們利用在積分符號下微分技巧推導出歐拉公式之一

首先讓我們寫出一個比較常見的積分公式，看上去平淡無奇

這個積分很容易計算，因此F（t）=1/t（對於所有t>0）,然後用積分符號下的微分方法（或者萊布尼茲求導法則）對t求導得到

我們進一步延伸，將x換成x^n,容易得到一個有關n！的公式

右邊是著名的gamma函數，它不依賴於n是整數。

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