一、數值微分
（1）數值差分與差商
微積分中，任意函數f(x)在x0點的導數是通過極限定義的：
如果去掉極限定義中h趨向於0的極限過程，得到函數在x0點處以h（h>0）為步長的向前差分、向後差分和中心差分差分公式：
向前差分：
向後差分：
中心差分：
當步長h充分小時，得到函數在x0點處以h(h>0)為步長的向前差商、向後差商和中心差商公式：
向前差商：
向後差商：
中心差商：
函數f(x)在點x0的微分接近於函數在該點的差分，而f在點x的導數接近於函數在該點的差商。
（2）數值微分的實現
MATLAB提供了求向前差分的函數diff，其調用格式有三種：
①dx=diff(x)：計算向量x的向前差分，dx(i)=x(i+1)-x(i),i=1,2,...,n-1。
②dx=diff(x,n)：計算向量x的n階向前差分。例如，diff(x,2)=diff(diff(x))。
③dx=diff(A,n,dim)：計算矩陣A的n階差分，dim=1時（默認狀態），按列計算差分；dim=2，按行計算差分。
注意：diff函數計算的是向量元素間的差分，故差分向量元素的個數比原向量少了一個。同樣，對於矩陣來說，差分後的矩陣比原矩陣少了一行或一列。
另外，計算差分之後，可以用f(x)在某點處的差商作為其導數的近似值。
【例】設f(x)=sin x，在[0,2π]範圍內隨機採樣，計算f』(x)的近似值，並與理論值f』(x)=cos x進行比較。
>> x=[0,sort(2*pi*rand(1,5000)),2*pi];>> y=sin(x);>> f1=diff(y)./diff(x);>> f2=cos(x(1:end-1));>> plot(x(1:end-1),f1,x(1:end-1),f2);>> d=norm(f1-f2)
d =
0.0456
二、數值積分
（1）數值積分基本原理
在高等數學中，計算定積分依靠微積分基本原理，只要找到被積函數f(x)的原函數F(x)，則可用牛頓—萊布尼茲(Newton-Leibinz)公式：
在有些情況下，應用牛頓—萊布尼茲公式有困難，例如，當被積函數的原函數無法用初等函數表示，或被積函數是用離散的表格形式給出的。這是就需要用數值解法來求定積分的近似值。
求定積分的數值方法多種多樣，如梯形法、辛普森法，高斯求積公式等。它們的基本思想都是將積分區間[a,b]分成n個子區間[xi,xi+1],i=1,2,...,n，其中x1=a,xn+1=b，這樣求定積分問題就分解為下面的求和問題：
在每一個小的子區間上定積分的值可以近似求得，從而避免了牛頓—萊布尼茲公式需要尋求原函數的困難。
（2）數值積分的實現
①基於自適應辛普森方法
[I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)
②基於自適應Gauss-Lobatto方法
[I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)
其中，filename是被積函數名；a和b分別是定積分的下限和上限，積分限[a,b]必須是有限的，不能為無窮大(Inf)；tol用來控制積分精度，默認時取tol=10-6；trace控制是否展現積分過程，若取非0則展現積分過程，取0則不展現，默認時取trace=0；返回參數I即定積分的值，n為被積函數的調用次數。
【例】分別用quad函數和quadl函數求定積分的近似值，並在相同的積分精度下，比較被積函數的調用次數。
>> format long>> f=@(x) 4./(1+x.^2);>> [I,n]=quad(f,0,1,1e-8)
I =
3.141592653733437
n =
61
>> [I,n]=quadl(f,0,1,1e-8)
I =
3.141592653589806
n =
48
>> (atan(1)-atan(0))*4
ans =
3.141592653589793
>> format short
③基於全局自適應積分方法
I=intergral(filename,a,b)
其中，I是計算得到的積分；filename是被積函數；a和b分別是定積分的下限和上限，積分限可以為無窮大。
【例】求定積分。
被積函數文件fe.m：
function f=fe(x)f=1./(x.*sqrt(1-log(x).^2));
>> I=intergral(@fe,1,exp(1))>> I=integral(@fe,1,exp(1))
I =
1.5708④基於自適應高斯—克朗羅德方法
[I,err]=quadgk(filename,a,b)
其中，err返回近似近似誤差範圍，其他參數的含義和用法與quad函數相同。積分上下限可以是無窮大(-Inf或Inf)，也可以是複數。如果積分上下限是複數，則quadgk函數在複平面上求積分。
【例】求定積分。
被積函數文件fsx.m：
function f=fsx(x)f=sin(1./x)./x.^2;
>> I=quadgk(@fsx,2/pi,+Inf)
I =
1.0000⑤基於梯形積分方法
已知(xi,yi)(i=1,2,...,n)，且a=x1<x2<...<xn=b，求近似值。
I=trapz(x,y)
其中，向量x、y定義函數關係y=f(x)。
trapz函數採用梯形積分法則，積分的近似值為：
其中，hi=xi+1-xi
可以用以下語句實現：
sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)
【例】設x=1:6,y=[6,8,11,7,5,2]，用trapz函數計算定積分。
>> x=1:6;>> y=[6,8,11,7,5,2];>> plot(x,y,'-ko');>> grid on>> axis([1,6,0,11]);>> I1=trapz(x,y)
I1 =
35
>> I2=sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)
I2 =
35
（3）多重定積分的數值求解
求二重積分的數值解：
I=integral2(filename,a,b,c,d)
I=quad2d(filename,a,b,c,d)
I=dblquad(filename,a,b,c,d,tol)
求三重積分的數值解：
I=integral3(filename,a,b,c,d,e,f)]
I=triplequad(filename,a,b,c,d,e,f,tol)
【例】分別求二重積分和三重積分。
>> f1=@(x,y)exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);>> I1=quad2d(f1,-2,2,-1,1)
I1 =
1.5745
>> f2=@(x,y,z)4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x);>> I2=integral3(f2,0,pi,0,pi,0,1)
I2 =
1.7328