微積分
微積分是研究函數的微分、積分性質及其應用的數學分支學科，並成為數學其他分支的基礎，也是其他自然科學和工程技術的必備工具。現在微積分學教程，通常的目錄次序是極限、微分、積分，正好與歷史順序相反。微積分最初關注的問題是計算面積、體積和弧長：
公元前3世紀，阿基米得「窮竭法」最接近於積分法，用於計算圓周率及面積、周長；1609年，克卜勒藉助某種積分方法，計算了行星運動第二定律中包含的面積，和酒桶的體積；1635年，卡瓦列利發表不可分元法的論文，提出卡瓦列利原理，用於計算面積和體積；1650年，沃利斯把卡瓦列利的方法系統化，並進行推廣。
微分起源於作曲線的切線和函數的極大值、極小值問題。
首位真正的先驅工作是，費爾馬於1629年陳述的概念；1669年，巴羅使用了微分三角形，這已經很接近現代微分法。同時，他也是首個充分認識到微分法與積分法是逆運算的人。
微積分後續的發展與完善工作。
牛頓和萊布尼茲彼此獨立地創造一般的符號和一整套形式的解析規則，形成可以應用的微積分學；到17世紀末，大部分微積分內容已經建立起來。1696年，洛比達出版第一部微積分教材；1769年，歐拉論述了二重積分；1773年，拉格朗日考察了三重積分；1837年，波爾查諾給出了級數的現代定義；19世紀，柯西奠基了分析學的嚴謹化。比如他給出極限、連續性定義，將導數定義為差商的極限、定積分定義為和的極限等等；在柯西工作的基礎上，威爾斯特拉斯給出了現在使用的精確的極限定義，並同狄德金、康託爾於19世紀70年代建立了嚴格的實數理論，使微積分建立在了堅固的基礎上。
關於微積分創立的優先權，牛頓和萊布尼茨之間還有過激烈的爭論，請參考：微積分首創的榮譽應該歸於誰？萊布尼茨和牛頓都是「生父」！
複變函數論
複數產生于于16世紀，其廣泛運用在於18世紀。其中複變函數就是把複數作為自變量，主要研究解析函數的性質。複變函數的研究始於18世紀，於19世紀得到全面發展。
18世紀三四十年代，歐拉利用冪級數討論了初等複變函數的性質；1752年，達朗貝爾得出複變函數可微的必要條件；拉普拉斯考慮過複變函數的積分；1825年，柯西討論了虛限定積分，1831年推出了柯西積分公式，並依此建立了一整套複變函數微分和積分的理論；1851年，黎曼的博士論文《複變函數論的基礎》，奠基了複變函數論。他推廣了單位解析函數到多位解析函數；引入了「黎曼曲面」的重要概念，確立了復變因數的幾何理論基礎；證明了保角映射基本定理；威爾斯特拉斯完全擺脫了幾何直觀，以冪級數為工具，用嚴密的純解析推理展開了函數論。並將解析函數定義為可以展開為冪級數的函數，圍繞著奇點對函數性質進行研究。現代，複變函數論是解決飛機飛行理論、熱運動理論、流體力學理論、電場和彈性理論等工程技術問題的有力工具。
實變函數論
實變函數的發展較晚，其中積分論是其重要組成部分。作為線段長度概念的推廣，引入了容度和測度，推廣了積分的概念。
1893年，約當給出了「約當容度」的概念，並用於討論積分；1894年，斯提捷首先推廣了積分概念，得到「斯提捷積分」；1898年，波萊爾改進了容度的概念，並稱之為『測度」；1902年，勒貝格改進了測度理論，建立了「勒貝格測度」、「勒貝格積分」等概念。1904年，他完全解決了黎曼可積性的問題。函數構造論是實變函數的另一個活躍領域。1885年，威爾斯特拉斯證明：連續函數必可表示為一致收斂的多項式級數。威爾斯特拉斯的這一結果和切比雪夫斯基最佳逼近論，是函數構造論的開端。
泛函分析
泛函分析是研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種拓撲和代數條件的映射的分支學科，形成於20世紀30年代，是從變分問題，積分方程和理論物理的研究中發展起來的。它綜合運用函數論，幾何學，現代數學的觀點來研究無限維向量空間上的函數，算子和極限理論。它可以看作無限維向量空間的解析幾何及數學分析。
有關泛函分析的更多內容，請閱讀：泛函分析：n維空間到無窮維空間的幾何學和微積分學
微分方程
伴隨著微積分的發展，以及客觀物質世界中關於物質運動規律的描述，都促進了常微分方程、偏微分方程的發展。而隨著物理科學、工程技術所研究領域的廣度和深度的擴展，微分方程的應用範圍也越來越廣泛。反過來，從數學自身的角度看，偏微分方程的求解促使函數論、變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等各方面的發展。從這個角度說，偏微分方程變成了數學的中心。
有關微分方程的詳細內容，請參考：微分方程：極富生命力，包羅萬象的數學分支