第一天立flag了，說好好把實分析和泛函分析給研究透，今天初略的看了一下周民強的《實變函數論》，是比較經典的實分析入門圖書。現將一些粗略的思考結合那本教材記錄一下吧。
黎曼積分的不足：
本書的引論是關於黎曼積分的總結，道出了很多黎曼積分的局限性，可以說，黎曼積分處理的是一種幾乎是連續函數的函數，也就是後面的一個重要定理（如果函數在區間上是有界的，那麼它是黎曼可積的充分必要條件是它的比連續點集的測度為0. 這裡的測度就是lebesgue測度。）然而，還有一大堆在應用上用到的函數都在黎曼積分的意義下是不可積的，這樣就產生問題。這是其一。
第二就是黎曼可積函數空間是不完備的，也就是說在這個函數空間裡定義了一個度量，引入極限的概念，那麼，黎曼可積的函數列會收斂到非黎曼可積的函數，這個就不好玩了，這也是它不是很好的地方。
但在這裡，我有一些想法和疑惑，第一就是難道所有在黎曼可積的函數空間裡的度量引出的極限概念都不是完備的嗎？
關於導函數和原函數問題，這個有一個很重要的關係，那就是，黎曼可積的函數不一定有原函數，一個函數的導函數不一定黎曼可積。例子分別是黎曼函數和volterra函數。這樣，牛頓-萊布尼茲公式就有非常強的條件了。這也是黎曼積分不足的地方。
建立lebesgue積分的思想
當然，關於黎曼積分還有很多不足，現就到這吧，接下來本書引言部分討論了建立lebesgue積分的思想。
黎曼積分是在細分分定義域，然後得出黎曼積分。但是lebesgue不那麼做，他細分值域，那樣就得到了相應的定義域裡面的點集。問題就在這裡，這些點集是雜亂無章的，必須要定義好這些雜亂無章的長度之類的概念，比如說，【0，1】區間裡面有理數集的長度是多少呢？無理數集的長度又是多少呢？這個就不自然了，就要好好定義長度，也就是測度。
接著，定義好了測度，那麼可測函數就自然出來了。再就是只能是可測函數才能算積分。
這就是lebesgue積分的構造了。之後就是研究這樣的函數的性質，和黎曼積分的關係等等。
所以，引言就定好了這本書要討論的問題：
1、首先定義測度，哪些集合是可測的。同時還確實有不可測的集合（有沒有這樣的測度定義，一個集合的所有的子集都可測。估計沒有吧）
2、其次就是定義了可測函數，研究可測函數的基本性質，我們之前還學過了函數列問題，從而可以引出收斂問題。同時，我們一直要和連續函數作對比，才能清楚的看到他們的性質。
3、接著就是lebesgue積分了。lebesgue積分不想黎曼積分那樣，一下子就可以給出定義，而是要一步一步來。同時還要研究他的性質。
4、還有兩章討論微積分基本定理的。
第一章是基礎內容，討論可數集等各種集合。
第二章正式進入主題：lebesgue測度的建立
首先定義一個外測度，可以說，任何集合都可以定義外測度，但是外測度沒有可數可加性。要不然，就可以拿外測度當作真正的測度了。但是，我們只要對這個集合限制一個條件，這樣滿足條件的集合的外測度就有可數可加性了。這樣我們就定義好了什麼是可測集。這樣工作就算完成了。
書中繼續討論了一些可測集的性質，以及和其他集合的關係，這個需要認真看書。
第三章主題：可測函數
就是用第二章建立的測度來定義哪些函數是可測的。具體的定義也很簡單，就是某種值域所對應的定義域是否是可測集。
討論完了可測函數的性質，我們就要研究可測函數列的收斂問題了，收斂問題一直是分析數學的核心。定義了幾乎處處收斂和依測度收斂的重要概念。
接著討論可測函數與連續函數的重要關係，這就是盧津定理
第四章主題：建立lebesgue積分
lebesgue積分的建立不是一上來就給定義的，而是由非負可測簡單函數的積分定義到非負可測函數的積分定義，最後再到一般可測函數的積分定義。
注意，可測函數才能定義積分，但不能說，只要是可測函數，就是lebesgue可積的。但是可測函數如果有界。
接著就是lebesgue積分的性質。巴拉巴拉一大堆。
當然忘不了可積函數與連續函數的關係，也有一個重要的定理。
最後當然是lebesgue積分與riemann積分的關係啦。給出了Riemann積分的充要條件。
最後的最後，是重積分和累次積分的問題，重要的性質表現在fubini定理裡面。
第五章的主題：有界變差函數。
看的不仔細，沒有什麼心得體會，不過慢慢來。
第六章的主題：Lˉp空間，
這是抽象空間的東西，準備放在泛函分析裡面去思考。
最後補充一下泛函分析的思考：
泛函分析，重要的是研究各種抽象空間的線性變換和線性算子的問題，是大學一年級線性代數的推廣，其中用得最多的是希爾伯特空間理論。
最後，這都是自己的體會，還是要認真做其中的題目，慢慢來，同時祝願自己生日快樂，老大不小了。