第五章進入了實變函數論的核心——建立勒貝格(Lebesgue)積分理論.
基本思路是按照 「非負簡單函數 非負可測函數 一般可測函數」 的順序來建立勒貝格積分理論. 這是一個由簡單到複雜, 由特殊到一般的過程.
我們先來回憶一下.
非負簡單函數的 Lebesgue 積分
設 為可測集, 為 上的一個非負簡單函數, 即 可表示為有限個互不相交的可測集 之並, 而在每個 上 取非負常數值 , 也就是說
這裡 是 的特徵函數.
在 上的 Lebesgue 積分定義為
非負可測函數的 Lebesgue 積分
設 為可測集, 是 上的一個非負可測函數, 在 上的 Lebesgue 積分定義為
若 , 則稱 在 上 Lebesgue 可積.
一般可測函數的 Lebesgue 積分
設 為可測集, 為 上的可測函數.令
則 和 都是 上的非負可測函數, 當 時,
若 和 中至少一個有限, 則稱 在 上積分確定, 稱 為 在 上的 Lebesgue 積分, 記作 .
若 和 都有限, 則稱 在 上 Lebesgue 可積.
下面我們開始講解習題.
這一章的課後習題比較多, 我們將分成三次來講解.
今天是第一部分, 包含課後習題 1-11.
第 1,2,3 題討論函數的可積性. 注意 Lebesgue 積分是絕對收斂的積分, 即
第 2 題給出了函數可積的一個必要條件.
第 3 題給出了當 時函數可積的一個充分必要條件.
第 1 題是一個具體函數的可積性. 部分同學認為題中的函數 是非負簡單函數, 這是不正確的. 請大家參考簡單函數的定義，想一下為什麼該題中的 不是非負簡單函數.
事實上, 第 1 題的證明需要用到
Lebesgue 積分的可數可加性:
第 5 題告訴我們, 對於非負可測函數列, 函數列的積分收斂於 0 是函數列依測度收斂於 0 的充分條件.
第 6 題對於 的情形, 對一般的可測函數列, 利用積分給出函數列依測度收斂於 0 的一個充分必要條件.
其中充分性的證明需要用到依測度收斂型 Lebesgue 控制收斂定理, 關於 Lebesgue 控制收斂定理, 我們下一次再詳細討論.
第 8,9 題的證明巧妙的運用了特徵函數. 設 , 則 的特徵函數定義為
Riemann 積分和 Lebesgue 積分的關係:
R 積分是「豎」著分割區間 , L 積分是「橫」著分割值域 ;
對於有界區間上的有界函數, L 積分是 R 積分的推廣.
設 是 上的一個有界函數, 若 在 上 R 可積, 則 在 上 L 可積, 且
設 是 上的一個非負實函數, 若對於任意的 , 在 上 R 可積且 R 反常積分收斂, 則 在 上 L 可積且
一般情況下的反例: 課本 P86 例
在 上的 R 反常積分收斂, 但不是 L 可積的.
設 是 上的一個非負實函數, 是唯一的瑕點. 若對於任意的 , 在 上 R 可積且 R 瑕積分收斂, 則 在 上 L 可積且
一般情況下的反例: 第 7 題中當 的情形.
在 上 R 反常積分收斂, 但不是 L 可積的.
一般情況下, L 積分不是 R 反常積分或 R 瑕積分的推廣的原因就是 L 積分是絕對收斂的積分, 而 R 積分不是.
第 4 題討論有界區間上的無界函數, L 積分和 R 積分的關係.
其中必要性的證明需要用到
萊維(Levi)定理:
第 7 題藉助 R 積分討論函數的 L 可積性.
第 10,11 題討論函數的 R 可積性. 課本 § 5 定理 1 給出了有界區間上有界函數 R 可積的充分必要條件.
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