實變函數學十遍，比「彙編語言不會編」還是難很多的。
至少我彙編就練得不錯:(
但實變就只懂一點點，做那湯松大牛的課後題是白搭，但是在需要的時候拿來懟一下深度神經網絡DNN還是可以的（捂臉
1，可數，
可數是實變函數的入門核心概念，一般都會放在第一章的開頭。
某集合裡的元素，存在一個與自然數集的一一對應關係，就是可數。
通俗點說，就是這個集合的元素數得清，能用0、1、2、3，...，依次編號。
至於這個號怎麼編，則需要證明者去找。
有理數的分子和分母都是整數，以其中一個為橫坐標，另一個為縱坐標，從0點開始按照對角線法則編號，就能與自然數一一對應，所以它可數。
這辦法是一百年前的康託大牛想出來的。
代數數，可以按代數方程的次數和根的個數排列，與上面類似的辦法，也可數。
2，不可數，
不可數集的典型就是實數，實數區間也不可數。
[0, 1]區間的不可數的證明過程，就是著名的康託三分集。
以1/3和2/3作為分割點，分三段，取中間一段。
然後繼續以4/9和5/9為分割點，把中間一小段再分三段。
重複以上步驟，一直分下去，形成一個閉區間套。
把這些分割點編號，因為閉區間套必有公共點，所以無論怎麼分閉區間套的公共點是編不進去的，即實數區間不可數，然後得出實數集不可數。
因為代數數可數，所以超越數存在。
超越數的存在，是康託的斷言。
閉區間套必須得有公共點，否則按康託的分法最後就間斷了，與實數集的連續性矛盾了。
3，有界無窮集，
有界無窮集必有極限點。
有界無窮點列必有收斂子列。
說的都是一碼事，這是波爾查諾-威爾斯特拉斯定理。
想像一下就可以，又有界，又無窮，那只能隨著n越大，|An - Am|越小，n趨向於無窮∞時，兩點差的絕對值趨向於0。
sigmond曲線，神經網絡裡常用的，就是這樣，x趨向於無窮大的時候曲線的斜率越來越小，梯度趨向於0，函數值趨向於0或1。
證明方法，如下圖，反正我記不住:(
圖片拍自那湯松的「實變函數論」。
收斂子列的極限點如果也在這個集合裡，那麼集合就是完備的。
空間的完備，是在泛函上經常出現。
n趨向無窮大時，兩點的距離趨向於0。把距離的定義抽象化，不再要求歐氏空間的距離定義，而是擴展為只需要滿足非負、對稱、三角不等式三原則，就是泛函分析的開篇，度量空間。
4，圓，
圓，和圓的內接正多邊形、外切正多邊形，是個很形象的描述以上概念的例子。
正多邊形自然是可數的，從正四邊形開始，依次遞增。
單位圓的外切正方形的面積是4，內接正方形的面積是2，單位圓的面積在這兩個值之間。
繼續做正八邊形，正16邊形，正32邊形，...，外切和內接都會越來越接近圓。
內接正八邊形比正方形多出來的面積，可以用勾股定理去算，不斷應用勾股定理可以算出所有的正N邊形的面積。
勾股定理是2次代數方程。
應用閉區間套定理，圓就是這個二維閉區間套的公共點。
也可以把內接和外切正多邊形的面積畫在實數軸上，那麼這一系列的區間就是閉區間套，圓的面積就是公共點。
所以，實數區間是不可數的。
圓的面積是沒法用勾股定理相關的代數方程算出來的，可以推測圓周率是超越數。
5，狄利克雷問題和勒貝格測度，
函數值在有理數為0，無理數為1，是沒法黎曼積分的。
因為積分就是變相的求和，黎曼積分是按定義域的區間劃分的，區間長度趨向於0時的和的極限，就是積分值。
有理數在實數上稠密，導致狄利克雷函數的區間沒法劃分，無論多小的區間，函數值都不唯一：不連續，也不是只在有限個點不連續。
勒貝格就按值域劃分了，值域倒是可以劃分，但是定義域從連續區間變成了一堆雜亂的集合。
這堆集合的大小怎麼算，規定可數集的測度是0，區間的測度是區間長度，這樣就可以積分了。
6，神經網絡與連續函數的近似，
連續，是個很強的條件。
有界，也是個很強的條件。
可導，那是個更強的條件。
既然連續，那麼它要麼是一條直線，要麼它的極值點最多只有可數個。
x0是極值點，那麼在x0的一個足夠小的鄰域內，f(x0)>= f(x)或者f(x0)<= f(x)，極大值點或極限值點。
鄰域是一個足夠小的區間，區間裡必含有一個有理數（有理數在實數上稠密），有理數是可數的，所以極值點也是可數的。
既然能數個數，那就挨個分段去近似，分的段足夠多，近似到一定精度內為止。
當時看書時還自己畫了一通呢，現在看不懂自己畫的什麼了。。。
推薦這本書：
俄羅斯大牛那湯松著，徐瑞雲譯，
「實變函數論」。
那湯松，據說是菲赫金戈爾茨的學生。