今天開始我們的第三章《可測測度》的講解，它與連續函數不同，可測函數在極限運算下是封閉的，並會重點介紹其兩者的關聯，以及可測函數列的點態與一致收斂之間的聯繫。
定義 3.1.1 設定義在可測集上， 若，有點集
是可測集，則稱在上可測.
註： 這裡可以把可測函數定義中的的範圍縮小，可得到如下定理
定理 3.1.1 設是定義在可測集上， 為的一個稠密集， 若對可測， 則可測.
證明： 這只需注意到對，取中點列，使得
即證.
然後我們變換一下可測函數定義中的點集:
定理 3.1.2 若為可測函數，則下列等式中左端的點集皆可測.
證明： 這些等式均為顯然，其可測性可以從定義得出.而可測函數的定義實際上可以換成(i), (ii), (iii)的左端點集的可測性.
定理 3.1.3 設在上有定義， 若在上可測，在上也可測， 則在上也是可測的.
若在上可測，為的可測子集，則在中可測.
下面給出與可測函數有關的運算性質
定理 3.1.4 若, 是上的實值可測函數，則函數
證明：
定理 3.1.5 若是上的可測函數列，則函數
證明： 這個結論極為重要, 因為它涉及到了無限.
由此可知， 當時， 是可測的，說明可測函數在極限下封閉.
關於可測函數的證明, 其關鍵在於構造集合.
對於函數，我們經常會把這個函數進行分解，例如分解為兩個正值函數， 奇偶函數等等.
關於正值分解， 我們需要注意到:
所以當在上可測， 則和在上可測， 從而也是可測的.
反過來若可測， 則不能得出可測的結論，反例為：對於可測集，取不可測集 ，令
則可測， 但是不可測.
定義 3.1.2 設有一個與集合中的點 有關的命題， 若除了中的一個零測集以外，皆為真，則稱在上幾乎處處是真的. a.e.(於). (p.p)
定理 3.1.6 設,是定義在上的廣義實值函數，在上可測， a.e.，則在上可測.
證明： 令 ，則 ，且 是可測集.即有
由在上的可測集，上式右端第一個點集是可測的，而第二個點集為零測集，即可知左端點集是可測的.
對於一個可測函數來說，當改變一個零測集的值時不會影響函數的可測性，這就有點類似於改變一個數列的有限項不影響數列的收斂性.
定義 3.1.3 設是定義在上的實值函數， 若
是有限集. 則稱為上的簡單函數.
定理 3.1.7 (簡單函數逼近) (i) 若是上的非負可測函數， 則存在非負可測的簡單函數漸升列:
使得
其中, .
(ii) 若是上的可測函數， 則存在可測簡單函數列， 使得，且有
若還是有界的，則上述收斂是一致的.
證明： 在數學分析中，對於連續函數是這樣來逼近的：把軸分隔成各個小區間，在每一個區間上用一個常數來替換在這一小區間的值，即令在上為常數.
現在我們需要換個換個角度，既然我們的目標是逼近，就乾脆把即軸分成各個小區間，在每個小區間上我們選擇一個常數來表示
這兩個想法基本上就是引言中提到的Riemann積分和Lebesgue積分的差異，從這裡可以大致看出後一種方法的逼近精度更高.
對於足夠大的，我們用一個變化的 值來替換.
其中 , .
(i) , .
(ii) , 是顯然的.
下面需要證明 .
當 時，則
當 時，則 ,,
當時，則, 此時有
(iii) ，趨於0， 有界.
(iv) 時，，.
注意： 的解在上，是無界的，讓它與作交集，則成了一個有界集，並且有
對於的支集來說，它必定是閉集， 一旦有界， 就成了緊集了.
從而可知 是一致收斂於的.
定義 3.1.4 對於定義在上的函數，稱點集的閉包為的支集，記為. 若的支集是有界的， 則稱是具有緊支集的函數.
在這一節中，我們需要注意到兩點：1、是在什麼意義下收斂？2、各種收斂之間有什麼關係？對於可測函數列而言，葉果洛夫定理它給出了幾乎處處收斂與一致收斂的關係，其中要引進的依測度收斂是可測函數列最典型的一種收斂.
定義 3.2.1 [幾乎處處收斂] 設,,,,是定義在點集上的廣義實值函數，若存在中的點集有及
則稱在上幾乎處處收斂於，並簡記
顯然若是上的可測函數列, a.e.，則是可測的.
定理 3.2.1 [葉果洛夫定理] 設,,,,是上幾乎處處有限的可測函數，且, 若 a.e.，則對任給的,存在中的子集, ，使得在上一致收斂於.
證明： 對 ，記，則
則對於，，當時，則
令,， , 使得
現證明在點集
對 ， 使得當 時, 有
這就證明了在上一致收斂於.
定義 3.2.2 [依測度收斂] 設,,,,是上幾乎處處有界的函數，若對任給的，有
則稱在上依測度收斂於.
定理 3.2.2 [依測度基本列] 設是上的幾乎處處有限的可測函數列， 若對任給的， 有
則稱為上的依測度基本列.
下述定理指出，在函數對等的意義下，依測度收斂的極限函數是唯一的.
定理 3.2.3 設在上同時依測度收斂於與，則 a.e..
證明： 顯然
或者說
注意到幾乎處處收斂強調的是點態收斂，而依測度收斂是需要在點集上考慮的，具有一定的整體性.，其測度應隨趨於無窮而趨於零，而不論此點集位置狀態變化，這是兩者之間的區別.
定理 3.2.4 設是上幾乎處處有限的可測函數列,且,若幾乎處處收斂於幾乎處處有限的函數,則在上依測度收斂於.
證明： 對，有
由此推出
定理 3.2.5 設是上幾乎處處有限的函數，若對,，使得在上一致收斂於，則在上依測度收斂於.
證明： 對，由題顯然
定理 3.2.6 若是上的依測度Cauchy列，則在上存在幾乎處處有限的可測函數，使依測度基本列收斂於.
證明： 書中p138的證明是首先構造出了一個，然後證明依測度收斂於，而的構造卻使用了幾乎處處收斂.
(i) 從基本列可以得出
即集合的測度可以任意小.
把這些集合挑出來，， 則在這些之外應有
從而說明是一個絕對收斂的級數， 而且是一致收斂的.
(ii) 前面的方法可以挑出一個列，，然後證明即可.
在這裡的證明過程中，實際上是證明了對於依測度基本列中可以抽出一個子列，可以幾乎處處收斂.
由此有Riesz定理:若在上依測度收斂於，則存在子列，使 a.e..
未完續...