看教材時不難發現，狄利克雷函數與黎曼函數對於我們學習分析學十分重要。不僅數學分析，實變函數中我們也經常提到它們。這兩個函數都具有很漂亮的性質，本文重在從基本性質與分析性質角度總結這兩個函數與和它們相關函數的性質。
D(x)以任意正有理數為周期，但沒有最小周期。
證明：對任意正有理數Q，有理數+Q的和為有理數，無理數+Q的和為無理數，即D(x+Q)=D(x)。
D(x)處處不連續，xD(x)僅在x=0處連續。
證明：前者顯然，下面證明後者。
xD(x)在x=0處的左極限與右極限都存在，且都等於0*D(0)=0，即xD(x)在x=0處連續。當x≠0時，取收斂到x的有理數列{an}和無理數列{bn}，由海涅定理可得，xD(x)的極限不存在，所以當x≠0時，xD(x)不連續。
（所以若讓構造僅在x=1處連續的函數，聰明的你知道怎麼做了嗎？僅在x=2和x=3處連續的函數呢？）
D(x)不連續，自然也不可導，所以我們重點研究和它相關的函數x^nD(x)的可導性。
在第3點中，我們指出了xD(x)僅在x=0連續，所以在非零點xD(x)都不可導。在x=0處，下式極限不存在
所以xD(x)在x=0處也不可導，即：
xD(x)在任一點都不可導
當n≥2時，類比第3點中證明xD(x)僅在x=0點連續的方法，我們可以得到x^nD(x)僅在x=0處連續，所以在非零點x^nD(x)都不可導。在x=0處，下式極限
即當n≥2時， x^nD(x)在非零處不可導，在x=0處存在直至n-1階導數。
在[0,1]上，D(x)不是黎曼可積的，但是勒貝格可積的，且積分值為0。
證明：由黎曼可積的定義，將所有點取成區間上的有理點，可得D(x)達布上和為1。將所有點取為無理點，得D(x)的達布下和為0，二者不相等，所以D(x)在[0,1]上不可積。
勒貝格可積的證明可由[0,1]區間上有理點集測度為0得到。