黎曼ζ函數

2021-02-15 手藝鍋

OS：本周最大新聞莫過於有人證明了黎曼猜想，作為一名理論物理工作者，有必要做一些基礎的黎曼函數展示工作。在數論中，黎曼猜想的意義非凡，不僅如此，它在諸多學科中也有很重要的地位。

黎曼ζ函數ζ（s）的定義如下： 設一複數s，其實數部分> 1而且：

它亦可以用積分定義：

在區域{s : Re(s) > 1}上，此無窮級數收斂並為一全純函數（其中Re表示複數的實部，下同）。歐拉在1740考慮過s為正整數的情況，後來切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼認識到：ζ函數可以通過解析開拓來擴展到一個定義在複數域（s, s≠ 1）上的全純函數ζ（s）。這也是黎曼猜想所研究的函數。

雖然黎曼的ζ函數被數學家認為主要和「最純」的數學領域數論相關，它也出現在應用統計學（參看齊夫定律和齊夫-曼德爾布羅特定律）、物理，以及調音的數學理論中。

複平面中一矩形區域之黎曼ζ函數ζ（z）；此圖用Matplotlib程式繪圖產生，使用到定義域著色方法。

歷史：

ζ函數最早出現於1350年左右，當時的尼克爾·奧裡斯姆發現了調和級數發散，即：

之後的一次進展來自萊昂哈德·歐拉，他給出了調和級數呈對數發散。除此之外，他還在1735年給出了巴塞爾問題的解答，得到：

歐拉最初的證明可以在巴塞爾問題中看到，然而那是他的第一個證明，因而廣為人知。事實上，那個證明雖有不嚴謹之處，但是歐拉仍然有自己的嚴格證明。歐拉在1737年還發現了歐拉乘積公式：

這是ζ函數與素數的聯繫的朦朧徵兆，其證明可以在證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中看到。1749年，歐拉通過大膽的計算發現了：

發現ζ(s)與ζ(1-s)之間存在某些關係。

將歐拉所做的一切牢牢地置于堅石之上的是黎曼，他在1859年的論文論小於給定數值的素數個數以及未發表的手稿中做出了多項進展：

第一積分表示：


完備化的ζ，即黎曼ξ函數：

滿足函數方程  ζ(s)=ζ(1-s)。

第二積分表示：

黎曼 - 馮·曼戈爾特公式：以0<N(T)表示虛部介於0與T之間的非平凡零點數量，則

黎曼猜想：ζ函數的所有非平凡零點的實部非常有可能均為1/2

第三積分表示：

其中圍道γ逆時針環繞負實軸。

第三積分表示的圍道γ

黎曼-西格爾公式：給出計算ξ函數的數值的方法

零點的計算：計算了虛部介於0與100的所有零點的數值

素數的分布公式：引入黎曼素數計數函數，給出了它與ζ函數的關係

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    Atiyah 用一篇簡潔的 5 頁論文闡述了證明的過程，核心在於一個新的函數 T(s)，這是根據他的老師 J.A.Todd 的名字 取名的一個函數。其猜想為： 黎曼猜想（RH）是關於黎曼ζ函數ζ（s）的零點分布的猜想。黎曼ζ函數在任何複數s ≠ 1上有定義。它在負偶數上也有零點（例如，當s = −2, s = −4, s= −6, ...）。這些零點是「平凡零點」。黎曼猜想關心的是非平凡零點。
  • 黎曼函數的零點,和素數分布聯繫到一起,其中原因並沒那麼高深!
    他所指的，就是那個著名的黎曼zata函數，我並非這方面的專業人士，但還是可以試圖來回答。黎曼猜想指出，ζ（z）函數的零點，決定了素數如何分布，要理解這點，我們並不需要太深的知識。沒錯，這就是黎曼函數的零點，和素數分布聯繫到一起的根源。至於其中每個因式如何處理，我們這裡不做討論。因為實際的聯繫非常複雜，ζ（z）函數的所有非平凡零點，對每一個素數的分布都有貢獻呢！
  • 世紀難題「黎曼假設」究竟能否被證明
    此外，黎曼假設還與物理學領域有一定的關聯度。黎曼假設（或稱黎曼猜想）是關於黎曼ζ函數ζ(s)的零點分布的猜想，由數學家波恩哈德·黎曼於1859年提出。1859年，波恩哈德·黎曼向柏林科學院提交了一篇題為「論小於給定數值的素數個數」的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的「誕生地」。
  • 黎曼猜想的重要意義
    黎曼猜想是由德國數學家、物理學家黎曼提出的。1859年黎曼發表一篇關於素數分布的論文，這篇論文中他研究了黎曼ζ函數，提出了著名的黎曼猜想。我們無法完全用初等的數學來描述黎曼猜想的內容，概略地講，它是關於對一個名叫黎曼ζ函數的復變量函數（也就是變量和函數值均在複數域中取值的函數）的猜想。與其他很多函數一樣，黎曼ζ函數在某些點上的取值為0，這些點被稱之為黎曼ζ函數的0點。在這些0點當中，特別重要的一部分稱為黎曼 ζ函數的非平凡0點。
  • 洞察素數的秘密，黎曼猜想與zeta函數
    黎曼所說的方法，就是我們接下來要介紹的數學中最有名的函數之一：黎曼 Zeta 函數。結果，就像人=鐵、飯=鋼一樣確定無疑，其他數學家接手了黎曼的工作，但是他們也無法證明。直到現在，黎曼假設仍懸而未決。那麼，什麼是黎曼 Zeta 函數（自從黎曼的論文問世之後，不斷有許多沒那麼有名的 Zeta 函數湧現，但是一般而言，提到「Zeta 函數」時一般指的是黎曼的原始版本）呢？
  • 黎曼猜想被證明了嗎
    黎曼猜想真的被證明了嗎？這些日子，關於一個重大數學猜想的疑惑成了縈繞在很多人心頭的猜想。令人心跳加快的9月24日終於到來。宣稱已用「簡單」而「全新」的方法證明黎曼猜想的英國著名數學家麥可·阿蒂亞，在2018年度海德堡獲獎者論壇上宣講了他的相關證明。但據此下結論，黎曼猜想已被證明，恐怕為時尚早。「證明太短，直覺告訴我可能不嚴謹。」
  • 159 年未曾解決的黎曼猜想,終於要在 2018 年被證明了嗎?
    近日，菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主、英國皇家學會前主席麥可· 阿提亞爵士宣稱自己證明了黎曼猜想，他將在9 月 24 日的海德堡獲獎者論壇上進行宣講，屆時或將給出黎曼猜想的全部證明過程。而且，爵士聲稱：「證明過程超簡單！」為什麼這個消息會引起轟動呢？先讓我們來說說這個「黎曼猜想」。
  • 159 年沒有得到解決的黎曼猜想,24 日或將被證明
    IT之家9月20日消息 近日，菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主、英國皇家學會前主席麥可· 阿提亞爵士宣稱自己證明了黎曼猜想，他將在9月24日的海德堡獲獎者論壇上進行宣講，屆時或將給出黎曼猜想的全部證明過程。黎曼猜想的內容無法用完全初等的數學來描述。
  • 有人號稱證明了黎曼猜想
    近日，菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主、英國皇家學會前主席麥可· 阿提亞爵士宣稱自己證明了黎曼猜想，他將在9月24日的海德堡獲獎者論壇上進行宣講，屆時或將給出黎曼猜想的全部證明過程。
  • 著名數學家 Michael Atiyah去世,去年九月聲稱證明黎曼猜想
    從 1986 年開始，Atiyah 研究了 Dedekind eta 函數、拓撲量子理論、Berry-Robbins 問題等。2018 年，Atiyah 聲稱他簡單地證明了黎曼猜想，引起轟動。黎曼猜想（RH）是關於黎曼ζ函數ζ（s）的零點分布的猜想。黎曼ζ函數在任何複數 s ≠ 1 上有定義。它在負偶數上也有零點（例如，當 s = −2, s = −4, s= −6, ...）。這些零點是「平凡零點」。
  • 黎曼猜想的新進展:最新論文或為其成立提供系統性的證據
    這篇論文如果正確的話，則意味著從一個角度為黎曼猜想的成立提供了系統性的證據。 　　最近一段時間，在黎曼猜想的研究中，時常爆出新聞。這在一定程度上是拜這一猜想的崇高地位所賜。黎曼猜想是德國數學家黎曼（Bernhard Riemann）於1859年在研究素數分布時提出的，迄今已有160年，卻仍未被解決。
  • 英國「數學教父」阿蒂亞去世,曾宣稱證明黎曼猜想
    阿蒂亞爵士在2018年9月宣稱自己證明了黎曼猜想，這引發數學界大轟動，作為英國數學「教父」，阿蒂亞爵士是菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主，儘管他在海德堡獲獎者論壇上提出的黎曼猜想證明未能得到廣泛認可，但阿蒂亞對數學領域、尤其是代數幾何領域做出了傑出貢獻
  • 物理還未發現，100多年前黎曼已先知先覺
    黎曼在文章裡定義了一個函數，它被後世稱為黎曼Zeta函數，Zeta函數是關於s的函數，其具體的定義就是自然數n的負s次方，對n從1到無窮求和。因此，黎曼Zeta函數就是一個無窮級數的求和。然而，遺憾的是，若且唯若複數s的實部大於1時，這個無窮級數的求和才能收斂(收斂在這裡指級數的加和總數小於無窮)。
  • 一個曾被遺棄的方法,重燃了證明黎曼假設的新希望?
    黎曼假設的核心是黎曼ζ函數。黎曼注意到，質數沿數軸的分布，與黎曼ζ函數中函數值為0點密切相關。他意識到，如果黎曼ζ函數滿足一定條件，就能揭示出一些質數的秘密，比如可以得出在一個給定數值之下存在多少個質數。黎曼澤塔函數有無窮多個函數值為0的點（位於圖中顏色的迴旋處）。黎曼假設預測，某些0點會位於一條直線上，在這幅圖中，這條直線是水平方向的，在這條直線上，彩色條紋與紅色相交。
  • 黎曼猜想or Coin猜想 哪個更牛X
    很難想像，這幾天的社交媒體，一條數學界知名難題「黎曼猜想被證實「被吃瓜群眾群起熱議刷屏!事情是這樣開始的。9月20日下午，關於黎曼猜想可能被證明的文章開始出現在網絡上，緣起是因為，89歲高齡的著名數學家 很難想像，這幾天的社交媒體，一條數學界知名難題「黎曼猜想被證實「被吃瓜群眾群起熱議刷屏!事情是這樣開始的。
  • 黎曼猜想有多難 - CSDN
    他在短短四頁中概述了：l  黎曼zeta函數ζ(s)的定義，一個復值化的zeta函數；l  zeta函數對於所有複數s≠1的解析延拓；l  黎曼xi函數ξ(s)的定義，一個通過Gamma函數與黎曼zeta函數建立起聯繫的整函數；l  黎曼zeta函數的兩個函數方程的證明;l  黎曼素數計數函數J(x)的定義，通過素數計數函數和莫比烏斯函數定義
  • 如果黎曼猜想被證明將會有何意義
    科普之家　　　　人們在證明黎曼猜想歷程中的探索，以及這種探索的意義，無論最終能否證明，都將顯示不朽的價值。　　黎曼猜想困擾數學界159年　　1859年，德國數學家黎曼發表了《論小於已知數的素數個數》論文。