物理還未發現，100多年前黎曼已先知先覺

數學是科學之母。人類科技的進步離不開數學的發展，數學已經被廣泛應用於各種領域。在數學的發展過程中，頂級數學家功不可沒。本期科學Sciences介紹19世紀最偉大的數學家之一：黎曼·黎曼，他被認為是先知的數學全才。

人類的科學之所以能夠達到如此高的水平，其原因就在於數學家提供了極其強大的分析工具。

數學的前進速度，遠遠超過了人類觀察自然和認識自然的速度。

我們知道，組成萬物的最基本單位是原子。原子一共有100多種，卻組成了成百萬、上千萬種不同的化合物，也是組成我們肉體的成分。

我們的肉體雖然是由原子組成的，但是我們觸摸到的並不是原子核。

我們的皮膚，我們的頭髮，以及我們周圍看到的一切，都是一大團電子，這些電子圍繞著原子核運行。

電子在原子核外高速運行，之所以不打架，就是因為分布在不同的軌道上。

與圍繞太陽運行的行星不同，電子不能與原子核保持任意距離，只能存在於被稱為允許軌道的特定位置。

按照物理學的觀點：軌道的大小和能量都是量子化的，電子從一個允許的軌道或能級，移動到另一軌道，中間過程是無法描述的。

電子從它所處的軌道上突然消失，又重新出現在新位置上，而不會出現在兩者之間。

這個過程被稱為量子躍遷。(但是後來發現，這個量子躍遷的中間過程有可能會被描述，在本文後面有。)

因為不同的軌道有不同的能量，每當量子躍遷發生時，電子在躍遷後所擁有的能量就會不同。

每個軌道上的電子都是由一個稱為波函數的數學表達式來表示的，它類似於一根沿著電子軌道行進的振動吉他弦。

如果一個電子從一個較高的能級躍遷到一個較低的能級，那麼損失的能量將以光子的形式發射出去。

同樣地，如果給原子加上能量，電子就可以利用這種能量從較低的軌道躍遷到較高的軌道。這種能量可以通過多種方式提供。一種常見的方法是原子吸收頻率合適的光子。

每種元素都有一組獨特的能級，因此它吸收和發射光的頻率就像一種指紋——光譜。只要分析光譜，就可以識別特定的元素。

電子所處的軌道是離散的和不連續的，就像一組一組的階梯。

根據物理學家的研究，電子在原子核外軌道能級的分布不是隨機的，它們有一定的規律。

這個分布規律決定了萬物的性質，所以非常重要。

上世紀，科學家弗裡曼.戴森(就是那個提出戴森球的科學家)發現素數在黎曼函數非平凡零點上的分布規律，和原子核外軌道能級的分布規律是一致的。

這個發現有雙重意義：第1層意義，宇宙具有絕對精確的數學構架；第2層意義，原子的軌道能級之間很可能仍然具有某種結構(但是量子力學認為這中間是空白)。

所以，電子的能級遷躍，肯定是經歷過某種暫時不為人知的過程。進一步推理，可以認為核外電子是運行在某一個更為複雜的空間中。

再進一步，量子的隨機分布，很可能中間仍然有某種精細的數學過程。

150年前，黎曼給出的數學構架很可能是物理研究的新突破口。

希爾伯特和另外一個數學家波利亞，曾經提出過另一個猜想，認為黎曼函數非平凡零點上的某些數的分布規律對應於真實世界中某一個物理體系。

所以黎曼猜想也被認為是最重要的數學猜想。

也就是說，在物理學家還沒有發現這些規律的時候，數學家已經從純粹的邏輯上找到了萬物運行的可能方式。

很多人如果對高等數學和複變函數沒有一點兒概念的話，說起黎曼猜想，估計只是認識這幾個字而已。

那麼，這個黎曼猜想到底說了些什麼呢？

證明過程肯定很複雜的，我們就先不管它了，至於黎曼猜想的內容原來是這樣的。

在自然數序列中，質數(素數)的概念，是小學生都能夠理解的，數就是那些只能被1和自身整除的整數，比如2，3，5，7，11等等都是質數。4，6，8，9等等都不是質數。

由於每個自然數都可以唯一地分解成有限個質數的乘積，因此在某種程度上，質數構成了自然數體系的基石，就好比原子是物質世界的基礎一樣。

質數的特性，讓數學界歷來都為它們迷戀不已。但是質數是沒有規律可循的，最早用數學表達式來表達質數的普遍規律，還是瑞士的天才數學家歐拉在1737年發表了歐拉乘積公式。在這個公式中，如鬼魅隨性的質數不再肆意妄為，終於向人們展示出了其循規蹈矩的一面。

沿著歐拉開闢的這一戰場，數學王子高斯(Gauss)和另一位數學大師勒讓德(Legendre)深入研究了質數的分布規律，終於各自獨立提出了石破天驚的質數定理。這一定理給出了質數在整個自然數中的大致分布概率，且和實際計算符合度很高。在和人們玩捉迷藏遊戲兩千多年後，質數終於露出了其漂亮的狐狸尾巴。

雖然符合人們的期待，質數定理所預測的分布規律和實際情況仍然有偏差，且偏差情況時大時小，這一現象引起了黎曼的注意。

其時，年僅33歲的黎曼(Riemann)當選為德國柏林科學院通信院士。出於對柏林科學院所授予的崇高榮譽的回報，同時為了表達自己的感激之情，他將一篇論文獻給了柏林科學院，論文的題目就是《論小於已知數的質數的個數》。在這篇文章裡，黎曼闡述了質數的精確分布規律。

1859年黎曼關於這個猜想的手稿

沒有人能預料到，這篇短短8頁的論文，蘊含著一代數學大師高屋建瓴的視野和智慧，以至今日，人們仍然為隱匿在其中的奧秘而苦苦思索。

就是數學界在一百多年前，在研究質數的過程中，黎曼定義出來的黎曼Zeta函數，就是黎曼猜想的主要內容。

現在關鍵的問題，是當時黎曼認為很顯然的定理，沒有證明，出現了類似費馬猜想的烏龍，讓整個數學界前赴後繼，卻不能證明，但是他們延伸出來的應用，已經遍布整個科學體系的方方面面了。

黎曼在文章裡定義了一個函數，它被後世稱為黎曼Zeta函數，Zeta函數是關於s的函數，其具體的定義就是自然數n的負s次方，對n從1到無窮求和。因此，黎曼Zeta函數就是一個無窮級數的求和。然而，遺憾的是，若且唯若複數s的實部大於1時，這個無窮級數的求和才能收斂(收斂在這裡指級數的加和總數小於無窮)。

黎曼Zeta函數

黎曼觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ(s)的性態。黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。

黎曼ζ 函數 ζ(s) 是級數表達式：

為了研究Zeta函數的性質，黎曼通過圍道積分的方式對該函數做了一個解析延拓，將s存在的空間拓展為複數平面，其表達式：

研究函數的重要性質之一就是對其零點有深刻的認識。零點就是那些使得函數的取值為零的數值集合。比如一元二次方程一般有兩個零點，並且有相應的求根公式給出零點的具體表達式。

黎曼對解析延拓後的Zeta函數證明了其具有兩類零點。其中一類是某個三角sin函數的周期零點，這被稱為平凡零點；另一類是Zeta函數自身的零點，被稱為非平凡零點。針對非平凡零點，黎曼提出了三個命題。

第一個命題，黎曼指出了非平凡零點的個數，且十分肯定其分布在實部大於0但是小於1的帶狀區域上。

第二個命題，黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位於實部等於1/2的直線上。從表達式：

不難看出，黎曼ζ 函數在 s=-2n (n 為正整數) 取值為零 - 因為 sin(πs/2) 為零。複平面上的這種使黎曼ζ 函數取值為零的點被稱為黎曼ζ 函數的零點。因此 s=-2n (n 為正整數)是黎曼ζ 函數的零點。這些零點分布有序、 性質簡單， 被稱為黎曼ζ 函數的平凡零點 (trivial zero)。除了這些平凡零點外，黎曼ζ 函數還有許多其它零點， 它們的性質遠比那些平凡零點來得複雜， 被稱為非平凡零點 (non-trivial zeros)。

黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上，也即方程ζ(s)=0的解的實部都是1/2。

在黎曼猜想的研究中， 數學家們把複平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為 critical line(臨界線)。運用這一術語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位於 critical line 上。

第三個命題，黎曼用十分謹慎的語氣寫到：很可能所有非平凡零點都全部位於實部等於1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。而最後這個命題，就是讓後世數學家如痴如醉且寢食難安的黎曼猜想。

黎曼函數還可以如下的一些表達方式：

有人曾經問希爾伯特，如果500年後能重回人間，他最希望了解的事情是什麼？希爾伯特回答說：我想知道，黎曼猜想解決了沒有。

美國數學家蒙哥馬利(Montgomery)曾經也表示，如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明，多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。黎曼猜想，儼然就是真理的宇宙裡，數學家心目中那顆最璀璨的明星。

有人統計過，在當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬。

在科幻電影《黑客帝國》裡，虛擬的世界也分成了好幾個層，其中一個是表象層，另一個是邏輯控制層，也就是所謂的機器層。

這讓我們聯想起，我們所處在的真實物理世界之外，是否還有一個純粹的邏輯世界，在這個邏輯世界裡面定義了所有萬物運行的法則。

與其說是頂級數學家的恐怖，不如說是數學的恐怖。

無論真實的宇宙有多麼龐大，都會被容納在數學的框架下。

除了黎曼和希爾伯特之外，還有一個被稱為穿越者的數學家，有人認為他是高維度生物向人類傳授知識的傳話筒。這個數學家就是印度數學家拉馬努金。

拉馬努金出生於印度埃羅德，家境十分貧寒。在學校裡，拉馬努金表現的也不顯眼，因為注意力不集中，考試總是不及格，按今天的標準，妥妥的「學渣」一個。好不容易考上大學，結果因為嚴重偏科，被學校開除。一年後，帕凱亞帕學院將他錄取，結果連續2次掛了5門文科，再次被學校開除，連學位都沒拿到手。日子過得也是相當拮据，甚至到了吃不起飯的地步。

然而在數學方面，他卻極具天賦。11歲，拉馬努金就掌握了部分大學數學的知識，13歲自學高等三角學。老師對這個「另類」不理解，同學也對他敬而遠之。而他只夢想著有一天不用為生活奔波，讓自己全身心的投入到數學中去。不過，畢業之後，擅長數學的拉馬努金，只能幹抄寫員的工作。沒有人相信，這個沒有學位，沒有接受數學教育的人，能在數學領域幹出名堂。但是，拉馬努金很快就證明了自己。

拉馬努金筆記

1911年，24歲的拉馬努金髮表了自己的第一篇論文，從此進入印度數學界。由於他的研究成果太高深，當時的印度沒人能看懂，朋友艾亞爾建議他：「何不把研究成果寄到英國劍橋，讓那裡的數學家看看呢？」

拉馬努金公式：別說讓我證明，我連看完的勇氣都沒有！

1913年1月16日，拉馬努金終於鼓起勇氣，給劍橋的貝克、霍布斯、哈代三位數學家，分別寄出了自己的研究出的一堆公式和命題。由於拉馬努金的數學都是自學，他研究出來的公式，沒有證明過程，甚至可以說，他連「證明」是什麼都不知道，更別提嚴謹的學術了。因此，他寄出去的研究成果，並沒有引起貝克與霍布斯的重視。

數學家哈代

哈代也是一位著名的數學家，看了拉馬努金的公式，由於沒有證明過程，也是一臉懵逼。不過，哈代沒有直接丟掉，而是和另一位數學家進行了討論，討論的結果就是：「拉馬努金是個天才！」

拉馬努金在哈代的幫助下，進入劍橋大學，成為哈代的合作夥伴。在5年的時間裡，2人一共發表28篇重量級論文，在堆壘數論特別是整數分拆方面做出了重要貢獻。當然，在橢圓函數、超幾何函數、發散級數等領域，他同樣取得了不俗的成績，對現代數學發展的貢獻不可估量。

拉馬努金(中間者)獲得劍橋學士學位

然而，他取得的這些成就，並非是受益於教育，而是來自於「神秘的直覺」。簡單來說，就是他睡一覺醒來，就能寫出來很多公式，用他自己的話來說：「是娜瑪卡爾女神給的啟示。」

憑藉這一超能力，他一共獨立發現3900個公式和命題，當然，這些夢裡得到的公式，全都沒有證明過程。經過後世數學家的不斷努力，很多公式都得到了證明是對的。沒被證明的公式，並不是錯誤的，而是目前無法證明。1978年，比利時的一位數學家證明了其中一道公式，就因此獲得菲爾茲獎，足以證明拉馬努金留下的公式難度之高。

有人說「拉馬努金其實是個穿越者」，我想說，這麼多複雜的公式，就算讓我穿越，我都記不住。天才的世界，真是我等凡人不可企及的。遺憾的是，這位數學界的天才只活了32歲。1920年4月26日，拉馬努金因肺結核病逝，留下一大堆未證明的公式，成為當今世界數學界最寶貴的遺產之一。

拉馬努金留下的數學手稿裡有3000多個公式，這些公式看起來都是初等數學公式，但卻極為重要。目前整理出來的大概只有1/10，有一些公式可以描述黑洞的存在。

拉馬努金所擅長的領域，其實都是他與生俱來的天才部分，和他在英國學到的知識沒有關係。拉馬努金曾經對哈代說，他的這些數學公式都是在夢中家族女神託夢給他的。

如果我們相信拉馬努金說的話，那麼確實存在一個僅有數學法則構成的宇宙。

那些最頂級的數學家，像黎曼、希爾伯特和拉馬努金等人，能夠在思維中觀察到這個宇宙，這也許就是頂級數學家的恐怖之處。