近日，網絡上曾經流傳關於北京大學李忠教授證明黎曼猜想的消息。根據一張來路不明截圖，李忠教授會在 10 月 11 日下午 2 點半在中科院數學所進行黎曼猜想的證明，且具有詳細的證明過程。
不過，李忠教授並未在 10 月 11 日下午出現，因此此事也被不少人猜測僅為一次烏龍事件。但事實上，到了10 月 12 日，李忠教授出現在中科院數學所，並在當天的小範圍報告中公布了自己對黎曼猜想證明的思路。
在當天題為「黎曼猜想的證明——從 Atiyah 的證明講起」的報告中，李忠教授給出了一個和此前英國「數學教父」 Atiyah 爵士思路不同但含有更多推導過程的證明。
圖 | 李忠教授討論會現場（來源：DT君）
從現場情況可以看出，李忠教授此次邀請參與討論會的多為業內學者，在場僅有幾名學生，大部分是與李忠教授年齡相近的數學家，包括著名的數學家林群院士也出席了此次會議。
而李忠教授在開始討論自己的證明前，先對黎曼猜想背景做了簡要介紹。其中，他提到，黎曼一生並未獲得什麼「大獎」，連教授職稱也是在去世後才獲得，但他對數學界的貢獻卻是驚人的，他一手開創的黎曼幾何是廣義相對論的主要基礎，這不得不引發大家的深思。
而根據當天的報告內容，此次李忠教授對黎曼猜想的證明並不是直接的。他提出了一個與黎曼猜想等價的猜想，並對這一猜想進行證明。
此次證明主要從他自己的一項創新：Reich 度量出發，通過這種新的度量，黎曼猜想可以用純數學的方式進行證明，而不需要像之前海德堡論壇上 Atiyah 爵士那樣借用物理學常數。
此前，Atiyah 爵士在海德堡論壇上宣稱的證明方法，則更多只是提出一個大致思路，缺乏細節。Atiyah 爵士證明靈感主要來源於其在 2018 年國際數學家大會上提出的精細結構常數的推演，同時應用了其導師一手開創的 Todd 函數參與計算。雖然 Atiyah 爵士對自己證明過程十分有把握，其論文也已向相關期刊投稿，但是從會前到會後，學者一直對此次證明過程存疑。
而在李忠教授的證明過程中，Reich 度量是證明中最重要的部分。
Reich 度量不僅僅是李忠教授最近研究的新內容，同時也是證明黎曼猜想的重要工具。但在會上，李忠教授並未對 Reich 度量及相關理論做過多聲明。或許還需要等待李忠老師未來公開論文後才能一窺究竟。
圖 | 與黎曼猜想等價的猜想（來源：DT君）
李忠老師的證明過程也十分簡潔，他的論文只有 2 頁紙，而核心證明步驟只有一行。但這需要先對 Reich 度量進行了解，才能通過 Reich 度量對黎曼猜想進行證明。
圖 | 李忠老師對黎曼猜想證明的關鍵步驟（來源：DT君）
在談到 Atiyah 爵士的證明時，李忠教授指出，在 9 月 24 日的海德堡獲獎者論壇中，Atiyah 對黎曼猜想的證明是物理學中精細結構常數 α 的副產品，這建立在馮·諾依曼和弗裡德裡希·希策布魯赫工作的基礎之上。
其中一個非常關鍵的問題就在於，這裡的有界性沒有得到證明。Atiyah 爵士證明中使用了物理意義下的有界量，而此次證明黎曼猜想本身就涉及到證明黎曼 zeta 函數是有界的，因此其證明過程並不完整。但使用 Reich 度量後，則可以明確證明黎曼 zeta 函數的有界性。
同時，李忠教授認為，他的證明和自己的證明是可以相互印證的：Atiyah 爵士的思路並沒有錯，但仍需要更改度量。如果將度量改成 Reich 度量，Atiyah 爵士也是可以證明黎曼猜想的。
圖丨 Reich 度量（來源：DT君）
討論會上，在談到自己的證明和 Atiyah 爵士的證明有什麼聯繫的時候，李忠老師十分謙虛的說，自己的工作是對 Atiyah 爵士工作的補充。
李忠教授還在會上透露，其實在海德堡論壇前，李忠老師曾在清華大學進行過 Reich 度量的相關討論。雖然當時李忠老師並未點透其與黎曼猜想證明的關係，但在場一些學者卻已發現，這與黎曼猜想證明有著千絲萬縷的聯繫。
會後，李忠教授還表示，此次證明論文或未來在網上發布（預印本），但李忠老師目前還不打算向期刊投稿。另外，本次證明李忠教授還並未向 Atiyah 爵士透露。此前，李忠教授曾與 Atiyah 爵士曾有過聯繫，在 1992 年李忠老師曾接待 Atiyah 爵士來華訪問。
「黎曼猜想被證明與否」並非是一件迅速可以下結論的事，李忠教授對此次證明過程的態度也十分謹慎。雖然他本人十分肯定此次證明過程就是對黎曼猜想的證明，但在會上並沒有直接宣布黎曼猜想已被證明。討論會上大家也對一些疑惑的點與李忠老師進行了面對面討論，但關於黎曼猜想是否已可以宣布被證明，還需要進行進一步的同行評議。
（來源：DT君）
李忠教授出生於 1936 年 8 月，今年已 82 歲高齡。曾在 1960 年畢業於北京大學數學力學系，隨即留校任教。在 1980 年升為副教授，1985 年被評為教授、博士生導師，1987 年至 1991 年曾擔任北京大學數學系主任。其研究主要領域為基礎數學複分析。
黎曼猜想由德國數學家黎曼在 1859 年提出。該猜想是數學中重要而著名的未解決問題，也被稱為猜想界皇冠。在攻克黎曼猜想證明難題的歷史上，不乏一些世界著名數學家的身影。但即使是到今年 9 月 Atiyah 爵士宣稱證明了黎曼猜想，學界對此仍存在爭議。
目前來看，李忠教授對黎曼猜想的純數學證明比海德堡論壇上 Atiyah 爵士的證明過程具有更豐富的細節，相信通過數學家們的進一步討論可以很快獲得新的進展。
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黎曼猜想
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1900 年在法國巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上，德國數學家希爾伯特做了《數學難題》的演講，列舉了他認為最重要的 23 個數學難題。100 年之後的 2000 年，美國克雷數學研究所也在巴黎發起了一個數學會議，參會數學家共同討論並列出了最重要的 7 個數學難題，還為每個難題設置了 100 萬美元的獎金。沒錯，這就是著名的「千禧問題」。
而無論是 23 個希爾伯特難題還是 7 個「千禧問題」，只有一個問題同時出現，那就是黎曼猜想。
國內知名科普作家盧昌海對於黎曼猜想如此評價：
與費馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個半世紀的紀錄還差得很遠，但它在數學上的重要性要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。
所以，什麼是黎曼猜想？
黎曼猜想是數學家黎曼在 1859 年向柏林科學院提交的一篇短論文（才八頁）中提出的，這篇論文討論的是素數分布的問題。素數分布在數論中有很重要的地位，相當於原子概念在現代物理學中的地位。黎曼發現，素數分布的規律就隱藏在某個函數的零點分布中。這個函數就是黎曼 ζ 函數：
黎曼 ζ 函數
黎曼將該函數解析延拓至整個複平面，並指出：黎曼ζ函數的非平凡零點（是指 s 不為-2、-4、-6等點的值，這些都是平凡零點）的實數部分都是 1/2。也就是說，這些非平凡零點都分布在複平面的 Re(z)=1/2 的直線上（即下圖中的虛線）。
1901 年 Helge von Koch 指出，黎曼猜想與強條件的素數定理
等價，其中π(x) 為不大於 x 的素數個數。目前已驗證最初的 1,500,000,000 個素數對這個定理都成立。但是否所有的解對該定理都成立，尚無證明。
黎曼猜想與數論中的素數分布問題有著非常緊密的聯繫。數論是數學的重要分支，在數論中，素數分布問題又是一個重要研究課題。也就是說，黎曼猜想的證實對數論也有很重要的影響。此外，人們還發現黎曼猜想與某些物理現象存在關聯，這也增加了黎曼猜想在物理學界的影響力。
黎曼猜想及推廣形式的成立是現有很多數學命題的前提。如果黎曼猜想及其推廣形式被證明，這些數學命題都將變為數學定理；反之，一旦黎曼猜想被證偽，將有 1000 多個數學命題成為黎曼猜想的「陪葬品」。要證偽黎曼猜想，只需要找到一個不在 Re(z)=1/2 這條直線上的非平凡零點即可，當然目前並沒有發現這樣的零點。
如果能在 500 年後重返人間，要問的第一件事情，就是黎曼猜想被證明了還是被證偽了。——希爾伯特
文章綜編：DeepTech深科技、機器之心