2018年9月24日，中國人正在熱熱鬧鬧的過著中秋佳節，被譽為當代最偉大數學家之一的麥可·阿蒂亞在德國海德堡獲獎者論壇上作了關於黎曼猜想證明的報告。對黎曼猜想還不是特別清楚的，可以去公眾號翻我的上一篇文章《數學大地震：一個半世紀懸而未決黎曼猜想被證明？它到底說了啥》。
159年懸而未決的頂級數學難題；極富創造力卻英年早逝，珍貴手稿又被管家付之一炬的天才數學家黎曼；菲爾茲獎、阿貝爾獎的獲得者，89歲高齡的偉大數學家阿蒂亞爵士。這些素材匯集在一起，在網際網路時代的今天想不火一把都是不可能的，於是阿蒂亞爵士作報告的時候，理所當然的就把主辦方的伺服器搞爆了。
其實，在阿蒂亞正式作報告的前兩天，一份只有5頁署名為阿蒂亞的證明黎曼猜想的論文就刷爆了朋友圈。很多人的第一反應是：5頁？怎麼可能只用5頁就證明了黎曼猜想？是不是哪裡搞錯了？這個預印版是其他人冒充阿蒂亞寫的吧？但是，當阿蒂亞正式做報告的時候，大家發現原來那個只有5也的論文真的是阿蒂亞寫的。並且，阿蒂亞在他做報告裡只花了一張PPT介紹了黎曼猜想的證明。
於是各大社交網絡上就炸鍋了，大家紛紛對阿蒂亞開啟了群嘲模式：認為阿蒂亞是老糊塗了；認為這不僅不算證明了黎曼猜想，連一個像樣的證明都不算；認為阿蒂亞一世英名，現在搞得晚節不保；再把同行對此不予置評，把阿蒂亞作報告的時候的尷尬給放大。一時間，搞得好像全世界都是聰明人，就阿蒂亞一個人是笨蛋似的。考慮到阿蒂亞現在已經是89歲高齡，大眾似乎就能更加心安理得的去群嘲一把，牛頓晚年還研究神學呢！
那麼這到底是個什麼事情？一個好好的數學事件怎麼好像被帶成了娛樂八卦事件？阿蒂亞到底是怎麼試圖去證明黎曼猜想的？黎曼猜想到底是被證明了還是被證偽了，能不能給個準信？
長尾科技接下來就跟大家好好聊聊這件事，把這件事裡裡外外說清楚然後大家自己去做判斷。畢竟，長尾科技不希望這樣一個科普的大好機會被一些營銷號帶節奏帶偏了，借用叨叨魏的口頭禪：「科學是我評判的唯一標準。」
阿蒂亞是怎麼證明黎曼猜想的？
阿蒂亞證明黎曼猜想的論文《THE RIEMANN HYPOTHESIS》（翻譯過來就是《黎曼猜想》，這論文的原文和PDF格式的下載地址我會在公眾號的第二篇文章給出）分為5部分：
第一部分做了一個簡單的介紹；
第二部分介紹了用來證明黎曼猜想最關鍵的Todd函數；
第三部分是利用Todd函數證明黎曼猜想；
第四部分再來解釋為什麼Todd函數可以這麼牛，解釋Todd函數背後的秘密；
第五部分做了一下總結和展望。
黎曼猜想的證明是在第三部分的這一段：
下圖是證明黎曼猜想的那一張幻燈片：
接下來我們說一下阿蒂亞的證明思路，老爺子採用的是反證法：
黎曼猜想不是說黎曼Zeta函數ζ的非平凡零點（實部位於0到1之間的零點，詳見上篇文章）的實部全部都是1/2麼？那麼我就假設黎曼Zeta函數ζ有一個非平凡零點b處在臨界區域（就是0到1這個臨界區域，英文對應critical strip的部分），但是它不在臨界分界線1/2（就是critical line）上，不在1/2這條臨界線上就是不等於1/2的意思。
那麼接下來我只要證明b的存在會導致矛盾，就能夠證明假設不成立。因為b是隨意取的一個點，所以就證明了任意一個點都不可能在0到1這個臨界區域內不等於1/2，也就是證明了黎曼猜想。
然後老爺子構造了一個新的函數：F(s) = T{1 + ζ(s + b)} – 1（這個T就是我們前面提到的Todd函數）。從這個函數非常簡單（起碼老爺子覺得簡單或者隱藏其它步驟）的就推導出來了F(s) = 2F(s)（論文是這個，在幻燈片裡是F(2s) = 2F(s)，不知道到底該聽哪個），於是F(s)就必須恆等於0，從而推出黎曼Zeta函數ζ恆等於0，這顯然是矛盾的。
於是，黎曼猜想證明完畢！
這下子你們知道為什麼老爺子關於黎曼猜想的證明為什麼這麼短了吧？你要在他的這篇論文裡再扣細節也摳不出什麼東西出來。在老爺子的眼裡：在Todd函數這種神兵利器的幫助下，黎曼猜想的正確性簡直不言自明，完全是顯而易見的。在老爺子的心裡，發現這個Todd函數才是最重要的，證明黎曼猜想只不過是順帶的事。
但關鍵是：如此重要的Todd函數，老爺子在這篇論文裡並沒有做過多的介紹，大家壓根就不知道Todd函數的細節，當然也就不知道為什麼Todd函數構造的那個F(s)會那樣「顯而易見」的導出矛盾。
所以，老爺子這場關於黎曼猜想的證明說了跟沒說差不多，不懂的還是照樣不懂，懷疑的還是照樣懷疑，只不過把矛盾從黎曼猜想轉移到這個神奇的Todd函數裡來了。
但是老爺子自己說，這篇論文裡雖然沒有給出Todd函數的詳細說明，但是在他的另一篇論文《THE FINE STRUCTURECONSTANT》（翻譯過來是《精細結構常數》，同樣，長尾君在公眾號的第二篇一樣會把它的下載地址奉上，有興趣的可以去看看原文）裡有Todd函數的詳細說明。老爺子已經把這篇17頁的論文提交給英國皇家學會會刊，但是還沒發表（不要問為什麼長尾科技會有還沒發表的論文~）
Todd函數和精細結構常數α
Todd函數是以阿蒂亞的老師J.A.Todd命名的，這個函數跟精細結構常數α息息相關，也跟黎曼猜想息息相關。它們之間的關係，阿蒂亞說他的手稿顯示：在黎曼Zeta函數的臨界線，也就是實部等於1/2的這一條線上，Todd函數的極限剛好是精細結構常數α。
上面這句話是問題的關鍵，也是真正最不可思議的地方，如果數學裡黎曼Zeta函數跟物理學裡的精細結構常數之間存在一種這樣的關係，那是非常不可思議的。在上一篇文章裡長尾科技也提到，黎曼Zeta函數的不平凡零點居然和物理裡的某種能級能對應上，數學和物理之間這種不可描述的關係確實讓人困惑。
精細結構常數α是一個無量綱（通俗講就是沒有單位）的物理常數，這個常數讓物理學家一頭霧水。一般的物理學常數都是有單位的，比如光速c的單位是m/s，普朗克常數h的單位是J·s，電荷e的單位是C，真空介電常數ε0的單位是F/m。但是，奇怪的是，把這幾個物理常數組合在一起形成的這個精細結構常數α=e2/(4πε0ch)（如下圖）剛好把所有的單位抵消了，它就變成了一個純數字，它的值大約等於1/ 137.03599913。
當然，物理學家一頭霧水不會只是因為它沒有單位，這個由其他幾個常數組合而成的無量綱常數在物理學裡有非常重要的意義。比如，它可以用來度量帶電粒子與電磁場的作用強度，受激發的原子發射光子的速度就由它決定。再比如，在物理學裡有一種劈裂現象：電子在原子核周圍運動時會產生磁場，磁場又會影響其他的電子，使原子能級發生細微的變化，這種變化會通過原子發射光的波長變化體現出來，而能級劈裂的寬度正比於α，這在太陽和恆星光譜中都存在。
看過我上一篇文章的可能有點印象，為什麼又是能級？上篇文章不是剛說黎曼Zeta函數的不平凡零點跟原子能級有種什麼驚人的相似麼？這裡怎麼原子能級又和精細結構常數α有某種關係？難道數學上的黎曼Zeta函數真的和物理上的精細結構常數α有某種關係？我不知道，但是阿蒂亞老爺子說有關係，他的Todd函數就是聯繫這兩者一個橋梁。但是到底是什麼關係，哪種關係，在老爺子沒有公布更多細節的時候長尾科技也不得而知。
這種無量綱常數背後到底有什麼意義？物理學家們也一直在思索這個問題。是宇宙碰巧選擇了137.03599913這樣一個數字，還是這後面暗示著某種更深層的關聯，更深刻的理論？物理學家們多次試圖從現有理論中導出精細結構常數α，但是都一無所獲。這樣看來，阿蒂亞爵士這次宣稱發現了精細結構常數α和黎曼Zeta函數之間的某種關係，這就不僅僅是是一個純粹的數學問題，也是一個物理問題了。
另一個阿蒂亞
阿蒂亞爵士早期的研究集中在代數幾何領域，20世紀70年代以後轉向了物理的規範場論，他對楊米爾斯方程（就是楊振寧發現的那個）的研究進一步揭示了幾何和物理之間的重要關係，這些對威騰進行超弦理論的研究起了很大的作用。有這樣的背景，我們對阿蒂亞把數學物理放在一起研究，並得出這樣的結論也就不奇怪了。
所以，阿蒂亞爵士看黎曼猜想的思路跟其他人是不一樣的。其他人一旦決定要向黎曼猜想發起衝擊，就去在數學裡絞盡腦汁，使用各種數學方法來解決它，最後發現證明不了；阿蒂亞可能就是在研究數學物理的時候偶然發現了他們之間的某種聯繫，然後這種聯繫剛好可以用來解釋黎曼猜想。
於是，這兩撥人就對不上號了。數學界搞黎曼猜想的那波人可能都是數論上的專家，在數論這種最純的數學領域搗鼓這麼久的，一般跟物理學關係不大，因為雖然數學和物理之間有很多聯繫（比如廣義相對論要用到黎曼幾何），但是一般跟純數論沒什麼關係。所以阿蒂亞說他這次提供的是全新的思路，跟他們以前的套路完全不一樣。
阿蒂亞自己說：「解決黎曼假設，你就會成名。但如果你已經出名，你就有可能變得臭名昭著。」
阿蒂亞是哪種人？一個89歲高齡還在研究數學物理的耄耋老人；一個獲得了數學界最高獎項菲爾茲獎和阿貝爾獎，被稱為當代最偉大數學家之一的人；一個已經完全功成名就，卻要冒著晚節不保的風險來趟黎曼猜想這趟渾水的「笨蛋」。
除了真愛，找不到其它的解釋。
這些事情很容易讓人想起了愛因斯坦。愛因斯坦後半生一直在做統一場論的研究，他也因此招致了很多嘲諷，很多人說他不識時務，把自己的大好智力資源浪費在統一場論這種不可能有結果的研究裡。更有甚者，直接說就算沒有愛因斯坦後半生的工作，物理學該怎麼發展照樣會怎麼發展！如果後來愛因斯坦的統一場論做成功了，這些負面的信息自然會全部洗白，變成諸如臥薪嘗膽，忍住寂寞堅定不移走自己路的愛因斯坦最終發現了更偉大的統一場論。
但是愛因斯坦自己是怎麼想的呢？統一場論這種物理學裡的終極硬骨頭，其難啃的程度可想而知，愛因斯坦說他現在已經功成名就什麼都有了，有終生教職也不怕丟飯碗，那麼像統一場論這種最難啃的硬骨頭不由我來啃由誰來？我就算失敗了也沒有關係，但是如果是一些年輕的物理學家來做這個，他們就可能是在自毀前程，所以「聰明」的物理學家應該挑選那種容易出成果容易發論文的領域做研究，這樣才叫識時務者為俊傑。
而且，愛因斯坦雖然沒有給出統一場論的終極方程，但是他的工作真的就是沒意義的麼？他探索了很多可能的方向，自己親自去趟地雷，排除了很多錯誤的方向，這也給後來的物理學家省了不少事。更不用說，他們還趟出了一條正確的康莊大道，只不過當時他們沒有意識到而已：外爾因為仰慕愛因斯坦跑來跟他一起做統一場論的工作，他提出了規範場的思想，這種思想後來被楊振寧發揚光大，成了20世紀下半頁最重要的物理思想，成功統一了電磁力、強力、弱力的標準模型就是建立在規範場論之上的。
愛因斯坦去世的時候，手上還拿著筆，紙上還留著半個沒寫完的方程，考慮到阿蒂亞現在已經是89歲高齡，他現在的處境，跟愛因斯坦多少有點相似。
如何看待阿蒂亞證明黎曼猜想這個事？
把話題重新再拉回證明黎曼猜想的這個主題，這個事情的脈絡我想大家大致已經弄清楚了，那麼我們該怎麼看這個事呢？
首先，長尾科技覺得，如果僅僅抓著老爺子5頁論文和1頁PPT的證明，看到它這麼短就對老爺子冷嘲熱諷是不道德也是不科學的。長尾上面已經說了，老爺子證明這麼短的原因，是因為證明的核心在那個聯繫了黎曼Zeta函數和精細結構常數α的Todd函數裡面，而現在我們對Todd函數的細節還知之甚少。
然後，我們就要開始對老爺子的Todd函數進行嚴格的審查（當然這些工作有專門的科學家去做，就不牢吃瓜群眾費心了）。因為老爺子說這個函數是跟數學和物理都密切相關的，而且他這種思想完全是一種新思路，因此這個審查可能會比較麻煩。
審查的結果無非是這麼幾種，我們一一來分析一下：
第一種，Todd函數正確的聯繫了精細結構常數和黎曼Zeta函數，並且用這種新思路去看待黎曼猜想是自然而然的。這當然是個皆大歡喜的結局，老爺子的故事會被封神，數學裡的純數論和物理學建立起了一種全新的聯繫，在這種全新的思路下，很多以前百思不得其解的問題也可以迎刃而解。黎曼猜想宣布被攻破，我等吃瓜群眾又少了一個賺100萬美刀的途徑，真是痛心疾首~
第二種，Todd函數正確的聯繫了數學和物理，給出了精細結構常數的一種新的解釋，但是這個思想在證明黎曼猜想上有漏洞有錯誤。一次性證明如此複雜的問題而沒有任何漏洞是不可想像的，好在這不是限時交卷的題目。如果漏洞被成功補上，那麼回到第一種情況，如果是不可補救的，那麼黎曼猜想的證明就宣告失敗，100萬美金大家還有希望。
但是，如果老爺子沒能成功證明黎曼猜想，卻給出了一個切實有用的聯繫數學和物理的新理論，這一樣是非常偉大的了不起的成就。你知道在原來兩種不相關的領域建立了一種聯繫這意味著什麼？正是法拉第他們發現了電和磁之間有某種聯繫，後來才有麥克斯韋統一了電磁學，並順手解決了光，並牢牢佔據了物理學排行榜第三的位置。老爺子可能會因此成為某個新的學科的奠基人。
第三種，聯繫黎曼Zeta函數和精細結構常數的Todd函數是有問題的。這樣的話，老爺子試圖在數學和物理之間試圖做的這種嘗試就宣告失敗，但是即便這樣，這裡還有幾個小情況要分清楚。
如果老爺子的出發點是對的，比如發現了精細結構常數和黎曼Zeta函數之間有某種關係，但是他後來走的方向錯了（就像外爾最早提出了規範場的概念，但是卻沒走通這條路，一直等到楊振寧才把這條路打通），結果導致最後計算的結果有問題。那麼，老爺子就不是某個新學科的奠基人，而只是先驅了。
如果老爺子連最開始的出發點都是錯的，是想當然想出來的，然後計算方法上自己又弄錯了，最後把答案湊對了。這種時候我們在佩服老爺子的勇氣和對科學的真愛的同時，就真的只能感嘆：歲月是把殺豬刀，英雄也有遲暮的時候，老爺子是真的老了。
但是，不論是哪一種情況，我們要科學的下結論也得等到科學界對Todd函數的徹底審查完成之後，現在下任何結論都還為時尚早，都是不負責任的！
結語
作為一個自媒體人，長尾科技也深知：如果我現在「順應民意」的去把阿蒂亞爵士給嘲弄一番的話，可以博得很多關注度，也可以帶來很多流量，而對媒體來說，流量基本上就意味著一切。
但是這麼做明顯的不科學的，我有什麼資格去嘲弄阿蒂亞爵士？我有什麼資格現在就去下如此肯定的結論？
我是看到了Todd函數的所有細節，明白無誤的發現阿蒂亞用Todd函數聯繫黎曼Zeta函數和精細結構常數之間出現了不可調和的錯誤？不，我沒有！
我是看到了Todd函數證明黎曼猜想的過程中出現了明顯的邏輯漏洞不？不，我壓根都還不知道Todd函數到底有啥功能。
我是從審查這個工作的權威科學家的口中聽說他們已經否定這個結果了？不，權威的科學家們的態度都是不予置評（報告才過去兩天，科學家們審查也要時間，更何況是這種新思路），反倒是吃瓜群眾的鍵盤下熱鬧得很。
那長尾君可以憑藉什麼呢？憑藉網絡上大家都不看好他麼？還是，牆倒眾人推，法不責眾，識時務者為俊傑？這些原則在為人處世上面可能確實很管用，但是在科學研究上就不是這麼好使了。
科學就是認死理，講證據，其他的都不頂用。
從某種意義上來說，中國這種人情社會，講關係，講捷徑，只注重目的不注重手段的方式跟現代科學的思維方式是不太相符的，也是我們在學習科學的時候要重點注意的。於是乎，這些就成了長尾科技做科普時的重要任務了。
大家關注我的公眾號是帶著信任來的，而信任是最可貴的東西，一旦失去了，用黃金都買不回來。我在公眾號裡寫文章普及科學的思想以及思維方式，如果我自己為了流量去下一些不科學的結論，這不是啪啪啪打自己的臉麼？那這樣以後還怎麼好意思去寫文章？
阿蒂亞和黎曼猜想是科學界的一件大事，這個事在國內的社交網絡上被刷得異常火爆，這是一個做科普的絕好機會。長尾君不希望這件原本是科學界的新聞最後慢慢演變成了娛樂八卦新聞，中國比任何一個國家都不缺娛樂八卦。
最後，再響應一下標題：
問：89歲的阿蒂亞到底有沒有成功證明黎曼猜想？
答：在權威的科學家們對阿蒂亞的Todd函數的審查結果出來之前，長尾科技拒絕對此做任何無根據的揣測，不予置評，這也是對長尾科技的粉絲們負責。當然，如果你是想了解黎曼猜想或者相對論的事情，來來來，你坐下，長尾君有一馬車的話要說~
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