分數階微分和積分算子的最自然的地方是使用稱為柯西公式的公式進行重複積分。
如果我們反覆取一個函數的n階反導數，則結果是：
階乘函數的一般化是伽馬函數。如果我們注意到Γ（n）=（n-1）！那麼推廣柯西公式以包含實數階α（嚴格大於零）的一種明顯方法是
實際上，這是積分到小數點的有效運算符。稱為左黎曼-利維爾積分。實際上，許多文獻中接受了不同的分數積分運算符，但RL積分是最簡單，最容易使用和理解的。注意，α可能也很複雜，實部嚴格大於零，為簡單起見，我們將假定α為實。α= 1/2的特殊情況稱為半積分。
RL集成遵循以下重要關係：
一個人可能天真地假設我們完成了，並且我們可以簡單地定義分數微分以將α階為
是這樣 問題（是其中一個問題）是，伽瑪函數未定義為零或負整數，這將使我們產生微分的泛化，甚至不能用於正則微分！我們必須要有創造力才能找到解決此問題的方法。
首先讓我們注意，對n次積分後取n次導數等效於標識運算：
這意味著導數是積分的左逆。但是，積分不是導數的左逆，因為積分會添加一個任意常數。也就是說，通常不正確的是
慮到這一點，我們期望分數導數的階數α具有以下性質：
顯然，我們也希望能夠根據我們理解的運算符編寫分數導數。我們了解到整數階的微分，並且了解到整數和非整數階的積分。我們可以從這些具有所需左取消屬性的組件運算符中構造出的運算符是：
α稱為α 的上限函數，是將α捨入到下一個整數的結果。我們發現這實際上是正確的運算符，並將其完整寫出如下所示：
這是左黎曼-利維爾分數導數。通過看那隻野獸，人們可以清楚地理解為什麼這個研究領域花了將近300年的時間：分數微積分中的大多數計算如果不是藉助計算機手工完成，就算是完全難以處理的也是乏味的。α= 1/2的特殊情況稱為半導數。
使用我們開發的分數積分和導數，我們現在可以將它們分段組合以定義微積分算子：
以下顯示了黎曼-利維爾微分積分如何在函數f（x）=x，f（x）=1和f（x）=（1/2）x之間連續轉換：
觀察從-1到1的α值，綠色曲線所示的微分積分如何在線y = 1和曲線y =（1/2）x之間掃動。
很好奇總是想知道當您嘗試做一些奇怪的事情時會發生什麼，例如插入一個分數以區分順序，因為這當然會產生許多重要的發現，但是當進入未知領域時，應該做好準備放棄許多您已經知道並自然而然地視為理所當然的東西。
當我們計算一個點的整數階導數的值時，結果值僅取決於該點。這種看似明顯的屬性稱為局部性。分數導數的情況有所不同。分數導數是通過對整個值範圍進行積分而獲得的，並且對積分的下限有非平凡的依賴關係，因此我們應該正確地將分數導數寫為：
分析物理系統時，a = 0是常見的情況，因為因變量通常是時間，並且任何給定時間的分數導數將取決於所有以前時間（即從在t = 0時開始實驗。
這種非局部性是引起分數微積分應用的主要驅動因素之一。 例如，可以想像一種電路組件，其電阻取決於在固定時間段內通過它的所有電荷。具有記憶效應的系統可能很難用經典的微分方程建模和分析，但是非局部性使分數導數具有合併記憶效應的內置能力。因此，分數演算可以證明是分析此類系統的非常有用的工具。