關於積分的幾何形象推導,保證你看一遍就會

各位同學大家好，我們又見面了。今天還是講數學，不廢話，直接進入本期正題。

上期講解了微分的簡化幾何推導，各位的評論我也都看了，評論是十分犀利啊，我也從中得到很多啟發和一些新奇的想法，可謂是受益良多。

那這期我們來看看微分的逆運算「積分」

積分也是微積分的一個核心概念。但積分的要領是近似，我們的目的就是「化曲為直，化圓為方」

記得小學數學課的時候，老師讓我們用圓規在方格子上畫一個圓，然後數出圓中方格個數來算圓的面積。

方格求圓面積雖然不太精確

老師當時叫我們將大於半格視為一格，小於半格就捨去，最後將格子總數相加來算圓的面積，再用面積算圓周率。因為有誤差所以得到的圓周率總是大於或者小於3.14。但是，如果再細分方格或者把圓變大的話，圓內方格面積總和就會逐漸接近圓的面積，圓周率也就會更加接近3.14。因為方格和圓之間有縫隙，所以我們可以將方格不斷分割來填充縫隙，直到誤差極其微小為止。

所以，求和便是為了積分

為了方便計算，我們引入了積分符號：

因為求圓面積的要領是精確劃分圓，所以劃分的形狀應該不僅僅限於正方形，我們同樣可以把圓分成細長的短條來求和。將圓分割成無數的小長方形，每一條寬為△x，對應的面積為長方形在x值對應的長度·△x，然後從左端到右端全部相加。

分解過程

當我們逐漸縮小長方形的寬度，縮小到不能再縮小的程度。這樣一來與其說是長方形倒不如說是無數根「細線」相加，其結果逐漸接近「圓的面積」。

得出圓的面積積分表達式：dx表示寬度△x趨向於0

用積分符號表示圓的面積

舉個更簡單的例子，下圖圓的半徑為1cm，我們把它分割成N條，用(2/N)就能得出每一條的寬度△x，即△x為(2/N)

將半徑為1cm的圓豎直分成N等份

實驗結果證明：

當N=10時，所有短條的面積和為2.637049

當N=20時，所有短條的面積和為2.904518

當N=40時，所有短條的面積和為3.028465

當N=2000時，所有短條的面積和為3.139555

當N=20000時，所有短條的面積和為3.141391，此時△x只有0.0001cm。雖然這個數值已經是纖細至極，但在分割圖形時並不算是特別精細的尺度。在積分領域，會使用更精細、更接近0的尺度。

之前的文章我提到過圓的面積微分（求導）是圓的周長，球的體積微分（求導）是球的表面積。大家有可能還不太明白，那我們用圖片來做個較為形象的解釋。

設半徑為r的圓的面積是關於r的函數，則有S（r）=πr^2，當圓的半徑增加△r時，面積會增加多少呢？

微分圓環

假設△r足夠小，那麼圓環面積△S（即增加的部分）≈圓的周長×△r（為什麼是約等於，因為圓環外側周長略大）

現在將兩邊同時除以△r得（△S/△r）≈圓的周長，取△r趨於0時的極限即（dS/dr）=圓的周長

接著往下看

累加薄圓環的面積

因為圓環的面積≈（L·△r）等於圓的周長乘以△r，所以圓的面積πr^2等於累加所有薄圓環面積

得出圓周長積分為圓的面積

劃重點：

所以微分就是從圓上多個同心圓之間排列的薄圓環中取出一個薄圓環，積分則是累加極薄圓環的面積從而求出圓的面積

同樣，我們來微分、積分球體：

分割球體

當球的半徑增加△r時，體積增加的是球外側很薄的一層皮，這層薄皮的體積大致為

球的表面積乘△r

反之，球的表面積積分為球的體積

球的表面積積分為球的體積

所以微分和積分就是相反的關係

微分和積分互為逆運算

我們知道了（x^n）的微分公式為（nx^(n-1)），所以可推出（x^n）的積分公式為：

x^n的積分公式

後面一個C我們稱為微分為0的函數，這是沒有變化的函數，叫做常數函數，這個C可以是任意數值，是一個不定項，這樣的積分叫做不定積分。前面求的面積和體積叫定積分，定積分原則上是從哪到哪固定的積分。

這裡有個C可能有些同學覺得糾結，其實不用擔心，在計算面積等問題時C就會消失。你也可以這麼理解，微分為0即是任意常數C，那麼反過來0的積分便是任意常數C，這是一個不定項。

那我們現學現用，來試試積分公式：

求陰影部分面積

直線與x軸的夾角為45°，陰影部分為一個梯形，上底=1，下底=2，高=1，我們用梯形面積公式（上底+下底）x高÷2能很快得出面積為3/2。那我們再用積分公式試試，如下圖：

這與梯形面積公式算出來的完全相等

我在想假如高考的時候出了一道算不規則面積的填空題，剛好你教材又沒有講過的話，那你可以巧妙利用這個公式算出來。一道填空題五分啊~O(∩_∩)O哈哈~

這期結束的時候，給同學們布置兩個家庭作業~^_^

1.利用積分公式算出下面陰影部分的面積

求拋物線圍成的陰影面積

2.我們現在已經知道了積分公式的一般表達式，那麼請大家思考下：反函數（1/x）的積分公式怎麼求？因為（1/x）可以寫成（x^(-1)），此時如果再用上述的積分公式，那麼分母就等0了，分母為0公式無意義，那該怎麼求呢，下來慢慢思考。

本期就寫到這，盯了一上午的電腦，眼睛都看花了

各位，下期再見

退下了，告辭。。