單擺周期公式的推導

2021-02-19 烤羚羊的理科教室

記單擺擺球質量為 

單擺示意圖周期的積分表達式

不考慮空氣阻力等非保守力導致的能量損耗，則擺動過程中總機械能守恆

上式中我們將勢能零點取在了最低點處，即平衡位置處的勢能為零。

在 

聯立（1）和（2），就可以解出速度的關係式：

另外，我們還可以將速度寫成如下的形式：

將（4）代入（3）中，我們可以得到

分離變量後，我們可以兩邊積分。左邊對 

若能將（6）式的積分接出來，就可以得到單擺周期的精確公式。但問題是這個積分的結果並不能用初等函數表示，所以光有這個漂亮的積分式並不解決問題。

不過如果我們關心的是擺幅並不算大的振動，那麼就可以利用一些近似方法來處理這個積分，得到近似的結果。

一級近似

在 

為了處理（6）式中的被積函數，最粗暴的近似可以對 

代回（6）式後，周期的積分變成

這個積分並不困難，常規操作作三角換元就可以很快搞定了。令 

我們就得到了大家可能都比較熟悉的單擺周期公式：

二級近似

當然，我們可以將近似做得更精細一些。對 

圓括號裡的這一坨，我們可以接著用二項式展開去作近似：

把這些近似的鬼玩意兒一股腦通通塞回（6）式，我們得到：

同樣作三角換元，令 

最後進行一些不算繁瑣的運算後，我們求得單擺的周期近似為：

以上推導中，我們最多保留到了 

反正我是不大有勇氣再算下去的，願意算的我敬你是條漢子。

顯然這個推導的結果，包括（16）式的結果，在 

這個結果其實在很多高中教材中都有介紹，常規的證明方法是先證明單擺在小角度近似下作簡諧振動（simple harmonic oscillation），然後通過解運動方程獲得角頻率（angular frequency）的信息，從而推出周期。當然，猜想角頻率 

一般我們認為在 

我們不妨計算不同角振幅下（11）和（16）兩式的偏差，其中差的無非就是 

好像就算到了

所以我們算了這麼一通，究竟圖什麼呢？（手動狗頭）

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