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上回我們講了單擺的特點，今天我們要討論一個問題：單擺的運動是不是簡諧運動？如果單擺的運動是簡諧運動，那麼它的回覆力必然與位移反向正比，實際上是不是這樣呢？
我們以前研究的彈簧振子，物體都在一條直線上運動，但是單擺的運動是圓弧。如果我們使單擺只做小角度擺動，那麼小球的運動主要就在水平方向，豎直方向的運動距離很短。這樣，我們可以近似把單擺看作直線運動。
單擺在運動過程中，重力的分力提供回復力，很顯然，當小球向右偏離平衡時，回復力向左，回復力與位移反向。
如果單擺偏離平衡位置的角度為θ，那麼單擺受到的回覆力大小.
在小角度擺動時，單擺的位移與小球划過的圓弧長度近似相等，因此小球位移可以寫作
看起來，回復力與位移並不是成正比的，因為回復力裡有因子sinθ，而位移裡因子是θ. 但是，由於我們剛剛做過限制，單擺的偏角很小。在這個前提下，sinθ和θ的確是接近相等的。
我們不妨來說明一下原因。我們做一個扇形OAB，OA=AB=1，若圓心角為θ，則AB弧長度就是θ. 從A向OB做垂線，那麼AC=sinθ. 如果θ角很小，那麼AB弧和AC就越來越接近，因此sinθ≈θ. 但是大家注意，這裡的θ必須使用弧度制。
我在下面列了一個表，來比較sinθ和θ的大小關係。
大家看，在角度小於14o時，sinθ與θ的差別不超過1%，因此可以近似認為小角度時二者相等。
如此，我們知道了：
這樣就可以得到回覆力與位移成正比的結論了。二者的關係是：。
如果類比彈簧振子，我們就會發現，這裡的mg/l就相當於彈簧振子中的勁度係數k，根據簡諧運動的周期公式
可以得到彈簧振子的周期
我們發現，質量m約掉了，也就是說，單擺的周期與小球質量m和振幅A無關，僅僅跟擺長L和重力加速度g有關。這稱為單擺的等時性。
單擺的等時性是伽利略最早發現的。但是真正提出單擺周期公式的人是荷蘭物理學家惠更斯。除了發現單擺周期公式之外，惠更斯還提出了動量守恆的概念，波傳播的原理，以及發表了概率論的專著《論賭博中的計算》.
大家可以思考一下，如果單擺的擺動角度不是小角度，而是大角度，那麼單擺的周期會變大還是會變小呢？
今天就是這些，下回見！
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