天才的發現：你知道牛頓是如何推導出π的精確值的嗎？

2020-08-09 電子通信和數學領域

艾薩克·牛頓（1642-1727）在1666年寫道：「我很慚愧的告訴您，我對π進行了許多計算」但其實牛頓將π值精確的計算到了15位以後

如下是牛頓《流數術》中關於曲線下面積的推導：

牛頓《流數術》


牛頓對π的推導過程：

第一：積分下扇形ABD的面積

牛頓當然已經掌握了解析幾何的概念，它就是以這種方式推導的，先作一個單位半圓，圓心C點坐標是（1/2，0），半徑r= 1/2：如下圖所示

那麼圓的方程就是

對y簡化和求解就給出了上半圓的方程：

接著牛頓運用自創的二項式定理，和他發明的微積分知識

牛頓發現的二項式定理

曲線y=ax^(m/n)

牛頓《流數術》中的曲線

牛頓《流數術》中曲線下的面積公式

所以牛頓運用二項式定理將半圓方程進行展開

然後再對展開式進行積分，就得到半圓下的面積：

艾薩克·牛頓（Isaac Newton）使用他的天才大腦，使B點坐標為(1/4,0)，作BD垂直AC，然後開始處理陰影部分ABD的面積


所以當x=1/4時，我們就得到了陰影部分ABD的面積：最後得出的近似值為0.07677310678

第二：平面幾何下三角形ABD的面積

牛頓接下來使用簡單的幾何計算陰影區域ABD的面積。首先計算直角三角形DBC的面積，BC=1/4，r= 1/2。運用勾股定理得到

你會發現∠BCD=60度，這就是牛頓設定B點坐標為(1/4,0)的原因，所以扇形ABD的面積就是半圓面積的1/3

積分下扇形ABD面積和幾何下扇形ABD的面積是等價的，所以最終得到π的值

牛頓得到的π的值

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