從阿基米德到牛頓,那些駕馭微積分的天才們

2021-02-13 環球科學

撰文丨史蒂夫·米爾斯基（Steve Mirsky）

翻譯丨紅豬

偉大的古希臘科學家、工程師和數學家阿基米德給我們留下了兩句名言，千百年來經久不衰。有一句傳說源自他對槓桿的研究 ：「給我一個支點（place to stand），我能撬起地球。」另一句是著名的「尤裡卡！」（eureka，「我找到啦！」）。據說，起因是他在泡澡時得到的靈感。他發現，要測量一個不規則物體的體積，可以把它浸在水裡，然後測量漫出來的水的體積。

最近出版的《無窮的力量 ：微積分如何揭示宇宙奧秘》（ Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets ofthe Universe ）再次談到了英雄般的阿基米德，書的作者是康奈爾大學應用數學教授史蒂文 · 斯特羅加茨（StevenStrogatz）。你要是曾發誓這輩子最後一次閱讀有關微積分的書籍就是在大學學習微積分的時候，那你不妨重新考慮一下。因為斯特羅加茨在書的導言中說 ：「我寫這本《無窮的力量》，是為了讓每個人都讀懂與微積分相關的那些偉大觀念和故事。」

介紹歷史的部分寫道，「微積分」（calculus）這個詞的拉丁語詞根是「calx」，意為「一小塊石頭」。斯特羅加茨說：「這個詞源可以追溯到很久以前，當時人們還用小石子計數和計算……醫生也用這個詞來表示膽結石、腎結石和膀胱結石。」我在年輕的時候就學過導數和積分，但有一件事直到讀過這本書才知道。牛頓和萊布尼茨，這兩位同屬於17世紀，各自發明了微積分的天才，「都是在結石引起的巨大痛苦中死去的，牛頓是膀胱結石，萊布尼茨是腎結石。」看來，你在學校時抱怨微積分要人命的話，還不是太誇張。

微積分裡有許多曲線，在斯特羅加茨看來，微積分的發展史也相當曲折。毫無疑問，牛頓和萊布尼茨大大加快了這門學問的進步，然而在他們之前的發展也並不像人們通常描述的那樣原始。斯特羅加茨寫道 ：「我認為微積分其實一直就存在，從阿基米德駕馭無窮的時候就有了。」

那麼，阿基米德是怎麼駕馭它的呢？他們運用了斯特羅加茨所謂的「無窮原則」（infinity principle）：「他們可以用這條原則描繪任何一種連續的形狀、物體、運動、過程或現象，因為無論它們表面上多麼離奇複雜，都能想像成由簡單的塊體組成的無窮序列。對這些部分加以分析，然後將結果重新組合，他們就能認識原來的那個整體了。」

對阿基米德而言，這條原則十分有用。當確定一個圓的周長（它的直徑乘以π）時，將這個圓想像成是由無數條無窮短的線段所組成。從6條線段開始想像，你會得出π的值為3。將線段增加為96條，你會得出π的值在3+10/71和3＋10/70之間。對於寫在羊皮背面的估算過程來說，這個結果已經相當不錯了。

經過兩千年的演變，數學中的這個分支終於幫我們建立了現代社會。斯特羅加茨寫道 ：「沒有微積分，我們就不會有手機、電腦或微波爐。我們不會有無線電或電視機，不能用超聲波為孕婦檢查、用GPS給迷途的旅行者指路。我們無法切開原子、揭示的人類基因組或是將太空人送上月球。」多虧了微積分，你才能用一臺微波爐、一隻淺盤和一些乳酪粉就能相對精確地測量光的速度。做完實驗後，你還能把乳酪吃掉，乳酪是優秀的鈣源，而鈣（calcium）的詞根也是「calx」。同樣源於calx的詞語還有填縫劑（caulk），你最好隨手準備一些這種物質，說不定什麼時候就能用得著。比如，當你在浴缸裡做出什麼天崩地裂的偉大發現時，或許就需要在事後用它來修補被震破的浴缸。

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  • 從阿基米德到牛頓,那些駕馭微積分的天才們!
    最近出版的《無窮的力量 ：微積分如何揭示宇宙奧秘》（ Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets ofthe Universe ）再次談到了英雄般的阿基米德，書的作者是康奈爾大學應用數學教授史蒂文 · 斯特羅加茨（StevenStrogatz）。
  • 阿基米德羊皮手稿比牛頓早1800年闡述微積分學
    據美國媒體昨天報導，1666年，牛頓（1642年－1727年）發現了微積分，世界科學界公認為近代物理學從這一年開始。　　電腦技術「復原」遺稿　　據報導，科學家們首先將羊皮紙上的文字掃描進了電腦，然後分別用藍光和紅光對其進行映照，電腦將對隨之產生的「虛假顏色」進行區分。美國史丹福大學副教授裡維爾·內茨道：「當我用計算機第一次看到肉眼根本無法看清的阿基米德遺稿時，我是那麼地驚訝。
  • 原來數學大神們是這樣想問題的——圖說微積分發明之謎
    微積分的歷史可以這樣描述——一條來自柏拉圖（Plato，前427—前347），經阿基米德、伽利略、卡瓦列裡和巴羅的積累，到牛頓發生根本質變，形成了運動學特徵的微積分；另一條來自德謨克利特（Demokritos， 前460～前370），經克卜勒、費馬、帕斯卡和惠更斯的積累，到萊布尼茲發生根本質變
  • 微積分先驅-阿基米德與他心中的數學王國
    微積分的思想　　阿基米德的幾何著作是希臘數學的頂峰。他把歐幾裡得嚴格的推理方法與柏拉圖先驗的豐富想像和諧地結合在一起，達到了至善至美的境界，從而"使得往後由克卜勒、卡瓦列利(Cavalieri)、費馬(Fermat)、牛頓(Newton)、萊布尼茨(Leibniz)等人相繼培育起來的微積分日趨完美"。
  • 我國古代數學,距離微積分有多遠?是否摸到微積分的門檻?
    導語：之前發表了一些關於微積分方面的文章，很多網友都在對阿基米德、牛頓、歐拉、高斯等數學大神佩服的五體投地，感慨歐洲的那些數學家們簡直是神一樣的存在，與此同時有一些網友問到：我國古代數學在微積分方面有哪些貢獻？他們是否摸到了微積分的門檻？下面我們主要談一下我國古代微積分思想的萌芽和發展以及微積分在中國的傳播，帶你了解這段塵封的數學史！
  • 阿基米德是如何發現微積分思想的？
    阿基米德也是一位傑出的發明家和武器設計師。他的許多成就包括1.他創造了力學和流體靜力學（包括槓桿定律、地心引力和所謂的阿基米德原理等概念，阿基米德原理適用於流體中的物體）。4.他從積分演算中預見到了將在2000年後得到充分發展的技術用數學家史蒂文·斯特羅加茨(的話來說，「阿基米德的才華超越的他的那個時代」。
  • 阿基米德是如何發現微積分思想的?
    4.他從積分演算中預見到了將在2000年後得到充分發展的技術用數學家史蒂文·斯特羅加茨(的話來說，「阿基米德的才華超越的他的那個時代」。圖3：18世紀中期的阿基米德的一幅畫。阿基米德的證明載於他在公元前3世紀所寫的論文《拋物線的正交》(在現代微積分由巴羅、笛卡爾、費馬、帕斯卡、沃利斯、卡瓦列裡、格雷戈裡、牛頓和萊布尼茲等幾位偉大的數學家發展出之前2000年)。圖5：託馬斯·德喬治的《阿基米德之死》根據神話，在士兵用劍殺死他之前，他告訴羅馬士兵「不要打擾我計算」。
  • 微積分出現後,人類就再也擋不住了!
    阿基米德求圓面積的第一個方法是如此簡單，但它只能來自天才的頭腦！只有有天賦的人才能在任何情況下找到簡單的方法。就像約翰·克魯伊夫說的那樣：「足球很簡單，但很難踢簡單的足球。」不管怎樣，阿基米德將正多邊形內嵌在一個圓內，直到正多邊形有如此多的邊，以至於它們實際上變成了圓本身。這樣，多邊形的面積就越來越接近圓的準確面積。
  • 微積分出現後，人類就再也擋不住了
    阿基米德求圓面積的第一個方法是如此簡單，但它只能來自天才的頭腦！只有有天賦的人才能在任何情況下找到簡單的方法。就像約翰·克魯伊夫說的那樣：「足球很簡單，但很難踢簡單的足球。」不管怎樣，阿基米德將正多邊形內嵌在一個圓內，直到正多邊形有如此多的邊，以至於它們實際上變成了圓本身。這樣，多邊形的面積就越來越接近圓的準確面積。
  • 阿基米德的天才——他憑什麼被評為最偉大的數學家?
    出生於蘇格蘭的數學家埃裡克·坦普爾·貝爾在他廣受歡迎的數學史著作《數學人》中寫道：歷史上最偉大的三位數學家中，阿基米德(Archimedes)一定榜上有名。另外兩個常與他聯繫在一起的是牛頓和高斯。阿基米德(公元前287-212年)是希臘數學家、物理學家、工程師、發明家和天文學家。他被廣泛認為是歷史上最有影響力的數學家之一。在他的許多成就中，以下是特別重要的：他從現代分析和微積分中預見到了各種技術，得出了π的近似值，描述了阿基米德螺旋（具有多種實際應用），建立了靜水力學和靜力學（包括槓桿原理），他是最早使用數學研究物理現象的思想家之一。
  • 歷史學家關於阿基米德的記錄
    人們從阿基米德本人的著作中了解到他的數學成就。但人們之所以知道他的傑出發明，是因為與他同時代人的有關記錄。阿基米德出生於義大利西西里島的敘拉古。敘拉古當時是古希臘帝國的殖民地。阿基米德曾經來到號稱「智慧之都」的亞歷山大城學習數學，並很快超越了他所處的時代。他意識到數學與實驗和機械原理之間有密切而重要的聯繫。他嚴密的數學證明和解題思路，揭示了他是一位真正的數學天才。阿基米德的原手稿未能留存下來，但在他死後大約一千年出現了一些手抄本。其中，最重要的一份是12世紀的羊皮紙手稿。
  • 微積分是誰發明的?牛頓與萊布尼茲的巨人之爭
    微積分創立之前的數學工具，研究對象和解決的問題都是屬於靜態的，就是所謂積分的方法。精確而瞬時的動態計算必然要涉及到微分的概念。所以，將微分和積分的理論統一起來的微積分學，本質上是一種運動的數學。 作為一門學科，微分和積分的思想早在古代就已經產生了。公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、旋轉雙曲體的體積等問題中，就隱含著近代積分學的思想。
  • 用一支點翹起地球的阿基米德
    阿基米德，古希臘著名的哲學家、物理學家、數學家、力學家、百科式科學家，在人類思想發展史上，沒有誰去得過比他更高的成就，也沒有誰比他更被人們所忽視，阿基米德有很多偉大的成就，後來的好多科學家都是在他的基礎上展開研究的，他就是那個被人遺忘的「巨人
  • 微積分發明權之爭:牛頓和萊布尼茨的巔峰對決
    但是爵爺還是小覷了天下英雄，他是天才不假，但是天底下又不是只有他一個天才，萊布尼茨也是天才。那就有才啊，偏偏萊布尼茨就是個天才。萊布尼茨大學讀的是法律，看來在哪個時代都一樣，人們青睞的都是法律金融之類的專業，但是他這麼拉風的男人，就象暗夜中的螢火蟲一樣那麼鮮明那麼出眾，在法國擔任外交官期間，他精通了數學，而且意識到了微積分。萊布尼茨久慕牛頓爵爺的大名，他通過別人聯繫和爵爺通了信，並且在信中闡述了自己的想法。
  • 人類歷史上4位絕世天才,你知道幾個?最後一個最厲害!
    如果阿基米德的微積分手稿在文藝復興時期就被發現，也許今天的人類早已走出銀河系，並且已經造出和人類一樣聰明的機器人。百年一遇或千年一遇的創造能力，耗盡了天才的生命，卻讓當時乃至後世的世界改頭換面。古希臘的雅典時期，誕生了以雅典學派為代表的海量天才；在同一時期，與雅典遠隔萬裡的中國大地上誕生了諸子百家；在14到16世紀的義大利，誕生了達·文西等一大批文藝復興巨匠，而達·文西在諸多領域所取得的成就，至今無人超越；一些生命極其短暫的藝術天才，創造了舉世無匹的輝煌；隨後人類迎來了思想解放的啟蒙時代，這一時代的蘇格蘭、英格蘭德國和法國，誕生了一大批祖師爺級別的哲學家、思想家、科學家……
  • 牛頓和他的《數學原理》
    我想作者把牛頓排在第二位，如果有什麼異議，那也是為什麼不把他排在第一位。17世紀是人類科學發展史上井噴的年代，前有哥白尼，布魯諾，伽利略，後有克卜勒，培根，笛卡爾。新興資本主義開始萌芽，追求科學真理的理念也漸漸深入人心。在17世紀中期，即1643年，伽利略帶著他未出版的《關於世界兩大體系的對話》，在軟禁的鄉間別墅中去世了。一個天才墜落了，另一個天才艾薩克·牛頓降生了。
  • 阿基米德面積方法求幾何級數和,真厲害!
    阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學家、百科式科學家、數學家、物理學家、力學家，靜態力學和流體靜力學的奠基人，並且享有「力學之父」的美稱，阿基米德和高斯、牛頓並列為世界三大數學家。
  • 鍊金、議員、手工藝人，揭秘天才科學家牛頓那些不為人知的身份
    市面上有很多關於牛頓的傳說，基本上都是無限拔高了牛頓的形象，而且只講他偉光正的一面。但牛頓畢竟還是人，只要是人，就會有人性的那些缺點。全球知名科學教師組織NSTA重點推薦了《牛頓的物理學世界》，有助於我們全面了解牛頓這個偉大的天才科學家。
  • 微積分的力量
    這幾天看了一本書《微積分的力量》，這確實是一本好書，也是我劃線比較多的一本書，很受啟發。
  • 阿基米德多智近神,難怪是最偉大的數學家之一
    牛頓也是一名偉大的數學家，他在數學方面的成就可能會被他物理學方面的光芒所掩蓋，但是牛爵爺在數學方面的貢獻也是他人難以望其項背的。牛頓跟萊布尼茨分別發明了微積分，微積分的重要性不必多說，是近現代數學的基礎，研究高等數學，首先就要學習微積分。牛頓還發現了廣義二項式定理，在解析幾何、概率論、初等數論等領域都有著不小的貢獻。