阿基米德是如何發現微積分思想的？

阿基米德是古代最偉大的科學家和數學家。他博學多才，對數學、物理、天文學和工程等廣泛領域都有貢獻。阿基米德也是一位傑出的發明家和武器設計師。

他的許多成就包括

1.他創造了力學和流體靜力學（包括槓桿定律、地心引力和所謂的阿基米德原理等概念，阿基米德原理適用於流體中的物體）。

• 圖1：根據阿基米德原理，浸入流體的物體所受的向上浮力等於物體所排開的流體的重量。

2.他給出了計算球體和其他幾何物體的體積和表面積的公式。

• 圖2：阿基米德的書《論球體和圓柱體》中的一頁，在那裡他展示了如何計算一個球體的表面積，以及一個球體的體積是包含它的圓柱體體積的2/3。

3.他是將物理學應用於解決數學問題的先驅者。下面的文章包含了這樣一個應用的例子。

4.他從積分演算中預見到了將在2000年後得到充分發展的技術

用數學家史蒂文·斯特羅加茨(的話來說，「阿基米德的才華超越的他的那個時代」。

• 圖3：18世紀中期的阿基米德的一幅畫。

他發明了幾臺戰爭機器。他甚至利用鏡子的特性來燃燒錫拉丘茲的船隻。

• 圖4：阿基米德利用鏡子來焚燒羅馬船隻。

在本文中，我將解釋他是如何計算拋物線段內的面積的。阿基米德的證明載於他在公元前3世紀所寫的論文《拋物線的正交》(在現代微積分由巴羅、笛卡爾、費馬、帕斯卡、沃利斯、卡瓦列裡、格雷戈裡、牛頓和萊布尼茲等幾位偉大的數學家發展出之前2000年)。

• 圖5：託馬斯·德喬治的《阿基米德之死》根據神話，在士兵用劍殺死他之前，他告訴羅馬士兵「不要打擾我計算」。

阿基米德和微積分

在圖6和圖7中，阿基米德用來計算弦AB圍成的面積的結構被展示出來。他構建三個三角形，即ΔABC、ΔADC和ΔCEB：

• 他首先找到了點C，其中切線平行於邊界弦AB。
• 同樣地，D的切線平行於AC。
• E點和BC的選擇遵循同樣的規則。
• 然後他對尚未包含內接三角形的區域採取相同的步驟。然後他無限地重複這個過程（這被稱為窮竭法）。

• 圖6：阿基米德想要計算拋物線和線段AB區域的面積。

阿基米德的證明，拋物線和線段AB包含區域的面積等於4/3ΔABC：

• 等式1：阿基米德在他的論文拋物線求積中證明的等式。

未來證明這一點，我們需要證明：

• 等式2。

然後把上面提到的窮竭法應用到下面的三角形ΔACD和ΔBCE等。

證明等式2

在本節中，我將展示如何證明等式2。我將證明，拋物線段的面積等於4/3ΔABC三角形的面積。

表示拋物線的方程可以寫成：

• 方程3:表示拋物線的方程。

• 圖7：的拋物線段定義了三個點A、B和C。

然後我們定義三個點A、B、C，使其結構如圖7所示：

• 方程4：A、B、C三個點的定義，如圖7所示

從圖7中，我們可以得到如下關係：

• 方程5：y點x₁我們發現通過C的垂直線是和弦AB的平分線。

根據方程5，穿過C的垂直線是和弦AB的等分線。他們相交的點用P表示，這可以證明：

• 方程6：如果證明了這個等式，則滿足等式2成立。

我們證明等式2。從圖7中我們可以看到，E的垂線在G點平分線段BC和在h點平分線段BP，如果我們現在證明：

我們將得到：

• 方程7：這些等式是上述等式的結果。

因為：

我們直接得到式6。然後：

為了證明這一點，我們將解析幾何應用於圖7。當然，阿基米德的證明只基於幾何學，因為分析幾何學是在17世紀才發展起來的（由法國哲學家、數學家和科學家勒內·笛卡爾提出）。

經過一些簡單的代數運算，我們得到：

• 方程8：用圖3中的結構證明FE=(1/4)QB。

最後一步：應用窮竭法

現在使用窮竭法和再應用與和弦ABC到更小的三角形使用同樣的方法，我們得到了一個幾何級數，其總和就是我們所期待的結果：

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