將手機連接到網際網路的4G或LTE是一種波。當你說話的時候，一種波被帶到你朋友的耳朵裡，這樣你的朋友就可以聽懂你在說什麼。
傅立葉變換和傅立葉級數是理解這些波非常重要和有用的技術。長話短說，傅立葉變換是用不同的正弦波和餘弦波來近似你感興趣的信號(波)。我希望你們記得sin和cos，如下圖
什麼是正交函數
在開始推導傅立葉變換方程之前，讓我們先了解一下正交函數。這是一個非常有用的性質，將很快用於推導真正的傅立葉級數。
舉個例子，想想下面的正交函數。
這個函數是正交的：如果你考慮m=n和m不等於n的兩種情況，你就會明白為什麼這是一個正交函數。對於消失的項，看一下右邊的圖。基本上，對於任何正弦和餘弦函數在一個周期內的積分，它都是零。這是對的，不管頻率是多少。
傅立葉級數
我們可以開始推導「傅立葉級數」（RFS）。假設有一個信號f（t）（假設它是周期信號，意味著隨著時間的推移有一個重複的模式），你想把它分解成一系列的正弦和餘弦。在這種情況下，你要做的是用P(t)近似f(t)
其中P(t)表示如下:
在這裡，一堆a和b都是最終要獲得的係數，因此P（t）是正弦和餘弦的某種組合，可以很好地描述f（t）。
現在，如果你想讓f(t)和P(t)近似，也就是說你想讓f(t)儘可能地和P(t)一樣，一種方法是最小化兩個函數之間的均方誤差。
注意，從這裡開始積分的範圍是一個任意的時間段，除非另有規定。這裡，我只是把它寫成T，但你可以把它看成整個周期[t, t +T]
為了使誤差最小化，我們通常取係數的導數。在這種情況下，通過將a和b設為零，我們可以得到最能描述函數P（t）的最佳係數，P（t）是f（t）的近似形式，使用正弦和餘弦。
通過解上面的導數，我們可以得到係數a和b，所以我們先從解a開始。
使用上面的方程是可以的，但是我們可以稍微整理一下方程。
因為我們不需要常數2，可以移除它。同樣，f(t)中沒有a所以通過對a求導，我們也可以消去這一項。
現在我們準備好繼續前進。我們從n = 0開始。
情形1:n = 0
所以現在我們得到了對a的導數等於零的簡化形式
為了解這個方程，我們想知道下面這個式子代表什麼:
如果你回頭看看P(t)是什麼，我們可以很容易地計算出這個導數，
現在把它代回導數等於0的方程，我們得到
我們只需對P（t）的每一項取積分就可以解出這個左邊。注意，如果你還記得我們在正交函數中討論過的內容，這個項的大部分都會變成零。（這部分簡單地說，除了第一項以外的所有項都歸零，因為如果你檢查正交函數部分中的數字，任何餘弦和正弦函數在一段時間內的積分都為零）
因此我們得到係數a0
情形2:n = 1
現在我們對n = 1做同樣的處理。首先計算P(t)的偏導數。
把它插入我們要解的方程中。
利用正交性的性質，我們得到：
因此，係數a1是
情況3及以後:一般的a和b
如果你對所有的a和b都這樣做，你會發現a和b的一般方程。
通過使用這些方程，你可以很容易地得到係數，然後可以代入原始的P(t)方程。
在那之後，P(t)將是f(t)的近似值作為一個真正的傅立葉級數!
恭喜!