方波的傅立葉級數和信號中的吉布斯現象

2021-01-08 電子通信和數學

我們現在來確定如下圖波形的傅立葉級數。來獲得它的振幅和相位譜。下圖是一個周期性的方波

我們的目標是得到傅立葉係數a0 an和bn，首先，我們將波形描述為

圖中可知f (t) = f (t + t),因為t = 2,ω0 = = 2π∕t =π。因此，

首先我們確定a0的值等於

接著又可以確定an的值，這些都可以根據傅立葉級數原理公式得到，你會發現an=0

接著確定bn的係數等於

所以我們得到方波的傅立葉級數形式

將各項逐一相加，隨著越來越多的分量相加，和就變成了越來越接近方波。

我們注意到部分和f(t)在不連續點的鄰域上下振蕩，(x = 0,1,2，…)時，存在振動和阻尼振蕩。

在第一幕中，an無論用於近似f(t)的項的數量如何，總是會出現峰值約9%的超調。這叫做吉布斯現象。

最後，我們得到了信號的振幅和相位譜

幅頻特性

相頻特性

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