相信現在大一學高數(下)的學生應該已經開始和傅立葉級數作鬥爭了吧，估計大家都會抱怨其積分太複雜，但是我相信有作圖軟體的同學，應該已經嘗試過用三角函數來逼近一些周期函數了。細心的同學應該已經發現了這個現象：將具有不連續點的周期函數進行傅立葉級數展開後，選取有限項進行合成。當選取的項數越多，在所合成的波形中出現的峰起越靠近原信號的不連續點。當選取的項數很大時，該峰值趨於一個常數，大約等於總跳變值的9%。這個就叫做Gibbs現象。
這個現象是不能因為階數增加而減弱的，只會讓峰值點更加接近跳變點。這裡給出一個不太嚴謹的證明：
首先，為了方便計算，我們取方波為例，然後呢，我們把周期不斷增大，最後呢，就會變成階躍函數，階躍函數的定義很簡單，就是宗量(自變量)為負的時候值為0，否則為1。但很顯然，這東西不是周期的，或者說周期無窮大。那肯定有同學要問了，這種非周期函數怎麼能有傅立葉級數呢？其實，我們把周期趨向於無窮大的時候，兩個相鄰頻率之間的差值，即基頻1/T也在不斷減少直至零，也就是說當周期趨向於無窮的時候，他的頻譜也變成了連續譜。其實如果我們再深入一點就可以得到傅立葉變換的定義了。如果我們有一個函數的傅立葉變換，對它的頻域以1/T的間隔抽樣，得到的就是這個函數以T為周期進行周期延拓之後的傅立葉級數。而我們取前有限項的過程，就可以變成一個理想的低通濾波，只保留頻率小於Wc的量，其餘的全部變為0，推導如圖。可以得到gibbs現象的結果。
作者：phy東西
APC編輯部科普組