傅立葉級數與吉布斯現象的進一步理解 中國海洋大學2019年信號與系統真題

簡單重複

本期講兩個點：

一：傅立葉級數與吉布斯現象的進一步理解

有同學說傅立葉級數有什麼更直觀的理解嗎，筆者想了很久，決定通過用matlab仿真去直觀理解。
拿這篇文章中的方波來講兩個經典題的解答。首先用matlab畫出幅度為1，佔空比為50%的方波，如下圖：

我們知道，當周期信號f(t)，滿足狄裡赫利條件時，且周期為T，

，可以把周期信號f(t)分解為三角函數形式的解析式。

從f(t)的表達式可以看出，它只含有奇數次諧波1，3，5，7···。

   諧波數為1：

諧波數為3：

分析：

我們可以看到當諧波數越大時，sin(wt)的線形組合越接近於原來的方波圖像，誤差也越小。

而且從第一個諧波圖，也就是諧波為1時可以看出，圖像振幅比較大。換句話說就是，頻率低的諧波振幅大它是方波的主體部分。

從最後一個諧波圖，也就是諧波為99時可以看出，圖像振幅比較小。換也就是說，頻率高的諧波振幅小它是方波的細節部分。而且諧波次數越高，波形邊緣越陡峭。

筆者本來想大膽嘗試99999次諧波計算的。結果，一分鐘不到CPU燒到90多度，Mac風扇雞肋就不敢嘗試了。事實證明電腦算力很重要。

然後筆者換了601次諧波嘗試，結果如下圖。可以看到邊緣非常突出了。

接下來筆者繼續驗證了非常重要的現象——吉布斯現象，就是當諧波數趨近於∞時，在間斷點處任然有9%的偏差，導致波形不能完全重合。

本科時只是在課堂中聽老師講過，而未仿真。筆者講諧波數加大到了2001，此時已經非常接近方波了，但是仔細看在筆者圖像中圈出的地方還是有一部分不與方波不重合。

二：中國海洋大學2019年信號與系統真題

總的來說，中海大19年題目難度居中，基礎考察較多。答案筆者會在下期給出。