01 傅立葉級數簡介
1822年，法國著名數學家傅立葉在研究熱傳導理論時提出並證明了周期函數可以展開為正弦級數的原理，這奠定了傅立葉級數的理論基礎。傅立葉級數可以理解為一種信號分解技術，它將目標信號分解成不同頻率的子信號從而減小信號處理的難度並完成信號的處理工作。
如圖1所示，我們可以直觀地將一幅老鷹頭像分解成鷹眼、鷹鼻、鷹嘴以及鷹額頭等諸多器官組織，即：鷹頭=鷹眼+鷹鼻+...+鷹嘴。如果將鷹頭視作一個信號f(t)且鷹眼、鷹鼻、鷹嘴分別用函數x(t)、y(t)、z(t)表示，那麼該鷹頭信號的展開式為：y(t)=A*x(t)+B*y(t)+...+C*z(t)+D，其中D為常數項或懲罰項。由此可見，一個複雜的信號完全可以由一組簡單的信號線性表示或一組簡單的信號可以線性表示任意一個複雜的信號。
02 傅立葉級數的正弦表示
一個複雜的信號必然含有大量的幹擾成分，在實際的科學研究中為了使研究結果更加客觀、精確，研究者不得不在正式展開科研之前對原始信號進行預處理以期消除幹擾信號分量或提取有效信號分量。但是，基於時域的信號處理方法很難達到理想的實驗效果，因此對信號的頻域處理方法成為一種必要趨勢。
在圖2中，信號y含有一定成分的幹擾分量，若要消除某一分量對信號整體的影響，只需將原始信號y展開並捨棄和式中的目標項即可。本文以捨棄和式第3項為例，結果如圖3所示：
可以看到，圖3中的信號較圖2中的信號更加平滑。同理，我們可以進一步對圖3信號進行類似的處理，其結果如圖4所示：
綜上所述，傅立葉級數實際上是一種採用頻域變換技術的信號分析方法，其具體表達形式如下所示：
注意到幅度an、bn為n倍角頻率的函數，如果將此函數關係以圖形形式畫出，則可以得到信號y的幅度頻譜圖。然而，由於頻譜只能在整數倍角頻率的地方出現，故我們稱這種頻譜為離散譜。
致尊敬的讀者：想知道幅度頻譜是如何繪製的嗎？幅度頻譜圖有何作用？既然傅立葉級數對於周期信號只能得到離散頻譜，那麼非周期信號又該如何處理？更多精彩內容將在下期推出，敬請期待。