一文秒懂傅立葉級數

將複雜的函數展開成冪級數，考慮的是在誤差允許的範圍內，通過熟悉的一元多次函數來研究複雜函數的有關問題。

如果著重強調一個複雜函數的周期性，那麼自然地考慮到是否能夠將複雜函數展開成熟悉的周期函數。而這個周期函數首選就應該是正弦函數和餘弦函數。最直觀的原因就是函數連續、曲線光滑、有周期性。

所謂的傅立葉級數，就是將一個複雜函數展開成三角級數，下面小編將具體闡述傅立葉級數。

1.三角級數

形如下式的級數稱為三角級數：

顯然對上述三角級數而言，2l是上述三角級數的一個周期。

在三角級數中，可能最讓人困惑的是為什麼是a0/2，而不是a0？對於這個問題，小編稍後解釋。

2.三角函數系的正交性

三角函數系就是由下列具有一定規律的正弦函數、餘弦函數組成的集合：

集合中的任意兩個不同函數的乘積在[-l,l]上的定積分等於0。

三角函數系的正交性證明不難，只需用到三角函數的積化和差公式即可得到證明。

3.傅立葉級數

如果函數f(x)以2l為周期，或者只定義在[-l,l]上，且函數f(x)在[-l,l]上可積。則函數f(x)能夠展開成如下形式的三角級數：

則稱右邊的級數為函數f(x)的傅立葉級數，相關的係數為傅立葉係數。注意上方標綠的地方，此處用到的是單約號而不是等號！意思是，對於x的某個值，傅立葉級數可能收斂，但收斂值與f(x)的值不一定相等。這一點是傅立葉級數與冪級數的一個重要區別。

求一個函數的傅立葉級數，自然要求出傅立葉級數中的係數。為了能夠更好地幫助大家理解係數的由來，小編先給出推導，首先求a0，具體過程如下：

考慮到a0的幾何意義，因此在三角級數中用到的是a0/2，此處回答了第1節的問題。

可以根據類似的方法求出傅立葉級數中其它的係數，具體過程如下：

4.狄利克雷收斂定理

與冪級數不同，傅立葉級數收斂的條件比較苛刻。

函數f(x)的周期為2l，並且函數f(x)在一個周期內可積，則傅立葉級數中的係數必定能夠計算出來。但是得出的傅立葉級數卻不一定收斂，而且即使收斂也不一定會收斂於f(x)。

狄利克雷收斂定理，是這樣一條定理：描述函數f(x)應滿足哪些條件，其傅立葉級數必收斂，且在某一點的收斂值與f(x)在該點的值或極限相關。

下面就是狄利克雷收斂定理的具體內容：

5.奇延拓和偶延拓

奇延拓和偶延拓在傅立葉級數中，屬於較難的知識點。小編結合一個例子進行說明。

在例題中，函數f(x)的自變量區間為[0,l]，對函數f(x)進行奇延拓，就是將函數f(x)的區間拓展為整個實數域上的奇函數；對函數f(x)進行偶延拓，就是將函數f(x)的區間拓展為整個實數域上的偶函數。

首先考慮奇延拓。對函數f(x)進行奇延拓，首先將區間[0,l]拓展至[-l,l]，再根據奇函數性質得出第一次拓展後的函數g(x)：

考慮到奇函數在原點對稱區間內的定積分為0，因此，f(x)的傅立葉級數中將不再包含餘弦函數部分，此時，傅立葉級數的係數將由下式決定：

經過計算，不難得出對函數f(x)進行奇延拓後的傅立葉級數（亦稱為正弦級數）如下：

同理，對函數f(x)進行偶延拓，其傅立葉係數由下式決定：

經計算，偶延拓後得到的傅立葉級數（亦成為餘弦級數）如下：

簡而言之，奇延拓和偶延拓就是拓展定義域，使函數f(x)在整個實數域上是奇函數或偶函數。但是在最後的結果中，定義域要與原函數的定義域相同！嚴格說來，最後的結果中應該是單約號，但是由於是連續函數，所以，可以用等號來表示。

6.比較傅立葉級數與冪級數

本節，小編對傅立葉級數與冪級數進行全方位的比較，如圖1所示，以幫助大家更好地理解兩種級數。

圖1.傅立葉級數與冪級數的比較

在目的上，將函數展開為傅立葉級數或冪級數都是為了能夠更好地、更方便地分析複雜函數。

對於傅立葉級數，只需要函數在一個周期內可積，即可以將函數展開為傅立葉級數；但是對於冪級數，除了要求函數在定義域內存在任意階導數外，還需要滿足函數泰勒公式中的拉格朗日餘項的極限為0，在滿足這兩個條件下，函數才能展開為冪級數。

對於傅立葉級數，常見的收斂定理是狄利克雷收斂定理；而對於冪級數，級數收斂條件就是展開條件，只是冪級數的收斂區間有相關的定理來求。

傅立葉級數與原函數f(x)之間是近似相等關係，而冪級數與原函數f(x)之間在收斂域內是相等關係。

7.最後的思考

在前文論述函數f(x)如何展開成傅立葉級數過程中，大家注意到沒有，要麼函數f(x)的定義域關於原點對稱，即[-l,l]，要麼函數的定義域位於原點的一側，即[0, l]或[-l,0]。當定義域為[-l,l]，直接正常求傅立葉係數，即可得到函數的傅立葉級數；當定義域位於原點的一側時，根據要求是進行奇延拓還是偶延拓，然後再求函數的傅立葉級數。

如果函數的定義域位於原點兩側，但不對稱，那還能否展開成傅立葉級數呢？

可以的，只不過是進行位移操作而已。

先看冪級數，標準的冪級數形式如下：

對於如下的冪級數，只不過是標準的冪級數圖像往右移動一單位。

再來看看傅立葉級數。假設函數f(x)的定義域為[-1,3]。那麼可以另t=x-1，則t的範圍為[-2,2]，或者令m=x+1，則m的範圍為[0,4]。這樣就將非標準的傅立葉級數函數形式化為標準形式，只要在最後得出的結果，將x代入即可。