完全搞懂傅立葉變換和小波(1)——總綱

　　無論是學習信號處理，還是做圖像、音視頻處理方面的研究，你永遠避不開的一個內容，就是傅立葉變換和小波。但是這兩個東西其實並不容易弄懂，或者說其實是非常抽象和晦澀的!

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　　完全搞懂傅立葉變換和小波，你至少需要知道哪些預備知識?主頁君從今天開始就將通過一些列文章告訴你他們之間的來龍去脈!本節是全部系列文章的第一節——總綱，日後我們也將按照這個思路一點一點講述所有的知識。需要說明的是，本文主要面向計算機專業或者電子信息專業的讀者，為此我們將儘量採取一些非常非常基礎的知識來幫助你理解。所以，題目裡面講的「完全搞懂」並非是從物理學或者純數學的角度去講的，因為傅立葉變換最初是法國科學家傅立葉在研究物理學(主要是熱力學)時創造出來的一套理論，如果要從這個角度去說「徹底搞懂」，肯定得需要很多物理知識、復變實變分析，之類的像天書一樣的東西。這樣牽扯下去，其實很多對於學計算機或者學電子信息的人來說，其實完全沒有必要。我們要做的，就是利用你已經掌握的知識來構建整個體系!

　　  

　　金庸在他的武俠小說《天龍八部》裡塑造了一個吐蕃國師的人物形象——「鳩摩智」。鳩摩智練武急功近利，為了在短期內多煉成幾門功夫，往往基礎不打牢，就強行修煉上乘武學。用道家的小無相功催動少林的七十二絕技，看似威力無比，其實後患無窮。其實日常學習也是這樣，如果上來就記住幾個公式，然後單刀直入地去啃傅立葉變換或者小波，其實也能做出點東西來，但是由於基礎都是空的，所以內化的過程幾乎是斷裂的，缺損的。無論是傅立葉變換還是小波，它們的最基本理論全部都是數學。只是大部分學生很難建立起它們之間的聯繫。我們今天就從數學開始說起。

　　圖中虛線框裡的內容，都應該是在高等數學裡必學的內容，這部分有啥不懂的，去問童校長應該最合適不過了。首先，你應該知道費馬定理(這個很簡單，說白了其實就是函數有極值的條件)，通過費馬定理，你可以證明羅爾定理，然後通過羅爾定理，你又可以證明拉格朗日中值定理，通過拉格朗日中值定理，你又可以繼而證明柯西中值定理。證明柯西中值定理的意義在於，它可以被用來證明泰勒公式。泰勒公式當然是一個叫做泰勒的人提出來的，但是真正證明泰勒公式的人是柯西，因為柯西知道柯西中值定理，而要證明泰勒公式就需要用到柯西中值定理。泰勒公式在我們這裡有兩個用途，首先它可以用來證明歐拉公式，歐拉公式在傅立葉變換裡面也是必須要用到的。其次，通過泰勒公式可以得到冪級數的展開。這是一個先導，因為無論是小波展開，還是傅立葉展開，如果你理解泰勒展式或者冪級數展開式，那麼對應的就很容易解釋，人們設計傅立葉展式和小波展式的初衷和用意了。高數裡的級數主要學兩種，除了冪級數以外，另外一個就是傅立葉級數。到這裡你所需要的高數知識就已經足夠了。

　　圖中黃色框圖裡的內容都是你在數位訊號處理課程裡應該學的。我們在學傅立葉變換之前，肯定要在高數裡先學一個傅立葉級數，但是傅立葉級數和傅立葉變換有啥關係呢?說白了，他們的本質是一樣一樣的，儘管它們各自公式的表達式好像差別還很大。通過傅立葉級數公式，其實你做一些化簡和變量替換(關於這部分內容，如果讀者有興趣，主頁君後續可以給出詳細證明過程)，傅立葉級數就變成傅立葉變換了，當然是連續的。然後你根據數位訊號處理裡面學的採樣定理，就能到處傅立葉變換了，這就是DFT!但是DFT有個問題，如果按公式計算，效率太低，實用價值不高，後來人們就發明了一個快速算法，FFT!這一路下來，如果每一步，你都非常清楚，那你就已經算是對傅立葉變換理解的很到位了。

　　然後說說小波，小波完全可以跟傅立葉變換對比著來理解，而且事實上，在小波出現之前，人們先創造出了一種叫短時傅立葉變換的東西，這可以被認為是二者之間的橋梁。當然，這部分內容，你不知道也沒關係，你甚至可以以泰勒公式和冪級數為起點來理解小波。小波級數展開對應的是傅立葉展開，連續小波對應連續傅立葉變換，DWT對應DFT。這些都非常容易理解。同樣，人們(其實主要是Mallat)也開發了一種小波的快速算法，FWT。FWT就像FFT在傅立葉變換中的地位。要理解FWT，你需要知道兩個基礎知識，一個叫做MRA，即多解析度分析，學習MRA對於理解小波也非常有意義。因為MRA是構建小波的一種方法。另外一個你必須要知道的東西叫做「子帶編碼」或者子帶分解。

　　要想理解子帶分解，你就必須知道QMF，即正交鏡像濾波器，而QMF是多採樣率信號處理裡面的重要內容。所以你必須有多採樣率信號處理知識的基礎，而多採樣率信號處理的基礎又是數位訊號處理!另外，子帶編碼還有一個理論基礎，或者說，子帶編碼為啥被證明有效，這就必須要知道率失真理論的有關結論。率失真理論又是資訊理論的重要組成部分。所以，最後這條線路上，你的學習脈絡應該是從資訊理論出發的(其實主要是互信息和率失真方面的內容)，然後才是信號處理，然後是多抽樣率處理，然後是子帶編碼和QMF，這些你都懂了之後，FWT就太Easy了!當然，你直接就學FWT的算法，而不去管它到底是怎麼來的，也是可以的，只是就像我之前說的，你的基礎基本上都是空的，你學了也只是學個招式，內功心法幾乎不會，所以再往上走可能會遇到很多困難。

　　任何一門學科或者知識發展到現在少說都是幾十年了，讓我們在短短個把月之內就學完，其實很不容易。所以看起來自己要知道的東西實在太多了，而學習的時間又是這樣的有限。但是也沒辦法，樓宇要蓋的越高，地基就勢必要打得越深。

　　另外：補充一點，後續在具體代碼實現時，我們採用的語言C++，在Visual C++下完成。