完全搞懂傅立葉變換和小波(4)——歐拉公式及其證明

2020-11-23 電子產品世界

　　這一系列的文章中間中斷了很久，很多朋友也留言希望我繼續連載完，遂「重拾舊河山」，希望如果有時間能夠把它做完。

本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/201703/345196.htm

　　本節我們介紹歐拉公式，它是複變函數中非常重要的一個定理，同時對於傅立葉變換的理解也必不可少。我們在高等數學裡學習的傅立葉級數通常都是用三角函數形式表示的，而傅立葉變換中的一般都是用冪指數形式的，歐拉公式的作用正是把三角函數與e的冪指數聯繫到一起。

　　如果你對本文涉及的基礎問題不甚了解，那麼建議你閱讀本文前面的部分。

　　完全搞懂傅立葉變換和小波(1)——總綱

　　http://www.eepw.com.cn/article/201702/344594.htm

　　完全搞懂傅立葉變換和小波(2)——三個中值定理

　　http://www.eepw.com.cn/article/201703/344766.htm

　　完全搞懂傅立葉變換和小波(3)——泰勒公式及其證明

　　http://www.eepw.com.cn/article/201703/344944.htm

 

　　  

 

　　未完，待續...

相關焦點

  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(3)——泰勒公式及其證明
    書接上文，之前我們介紹了高等數學裡的三個中值定理，本節我們繼續按照總綱的思路，用柯西中值定理來證明泰勒公式。這是我們循序漸進引出傅立葉的最後一項任務，完成這一步的學習之後，你就可以從級數的角度，了解傅立葉的意義了。
  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(6)——傅立葉級數展開之函數項級數的性質
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  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(5)——傅立葉級數展開之函數項級數的概念
    1.4 傅立葉級數展開本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/201703/345383.htm　　之前我們在介紹泰勒展開式的時候提到過傅立葉級數。
  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(1)——總綱
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  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(2)——三個中值定理
    書接上文，本文章是該系列的第二篇，按照總綱中給出的框架，本節介紹三個中值定理，包括它們的證明及幾何意義。這三個中值定理是高等數學中非常基礎的部分，如果讀者對於高數的內容已經非常了解，大可跳過此部分。
  • 小波變換教程(一):為什麼需要小波變換
    連結：http://users.rowan.edu/~polikar/WTtutorial.html該教程的目錄如下，主要分為四個部分：1）概覽：為什麼需要小波變換；2）基礎：傅立葉變換及短時傅立葉變換；3）多尺度分析：連續小波變換；4）多尺度分析：離散小波變換這是一篇引導性的教程，作者將給出小波變換的基本原理，而不會涉及公式和理論的證明。
  • 小波變換通俗解釋
    從傅立葉變換到小波變換，並不是一個完全抽象的東西，可以講得很形象。小波變換有著明確的物理意義，如果我們從它的提出時所面對的問題看起，可以整理出非常清晰的思路。下面就按照傅立葉-->短時傅立葉變換-->小波變換的順序，講一下為什麼會出現小波這個東西、小波究竟是怎樣的思路。
  • 小波變換通俗解釋版
    從傅立葉變換到小波變換，並不是一個完全抽象的東西，可以講得很形象。
  • 【原創】圖解傅立葉變換
    之前看過一篇關於傅立葉分析的文章，對傅立葉變換、時域、頻域等有了點直觀的理解，但具體到計算上依然是困惑的並且對於一些概念比如卷積、可積、不可積等也是似懂非懂。由於傅立葉公式比較抽象所以就在思考能否構建一個模型，通過模型直觀的去理解或解釋傅立葉公式？
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    小波變換（wavelet transform，WT）是一種新的變換分析方法，它繼承和發展了短時傅立葉變換局部化的思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點，能夠提供一個隨頻率改變的「時間-頻率」窗口，是進行信號時頻分析和處理的理想工具。
  • 傅立葉變換繪製二維圖形|小記
    如果用 F 表示以 t 為連續變量的連續非周期函數 f 的傅立葉變換，我們有對應的傅立葉變換公式為：其中 j 是複數，也就是 -1 的平方根。理解上面的傅立葉變換公式可以看3B1B關於《形象的比喻：什麼是傅立葉變換？》的視頻，參考文章列表裡給出了youtube的地址，不過B站上應該也有搬運和中文字幕。
  • Matlab與傅立葉變換
    今天，二狗給大家講一講Matlab實現傅立葉變換。大家都知道，信號分為兩種，確定信號和不確定信號。在確定信號中，有兩個非常重要的類別，時域分析和頻域分析。而將兩者充分結合的，就是我們今天要講的傅立葉變換。絕大多數工科狗在大一或者大二的時候，都或多或少接觸過傅立葉變換。二狗也不例外。當初二狗學《複變函數與積分變換》時，差點被搞成死狗，就是因為傅立葉變換。
  • 傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z 變換的聯繫是什麼?為什麼要進行這些變換?
    不是很複雜吧,你是不是很疑惑,為什麼長得和傅立葉變換的標準公式差的有點多呢,標準公式不是長得是這樣麼:你看,最終還不是換湯不換藥,無非就是多了個複數,這個複數其實沒有別的其它意義,作用就是在計算中和cos區分開來,扯到複平面上繞圈圈?沒必要!真的,傅立葉搞懂了拉普拉斯變換基本上一句話就能講完,如果不扯點傅立葉變換的東西,我估計會因為回答問題過於簡短待會答案都被摺疊了。
  • 小波的秘密1-小波變換概況與綜述
    知道信號頻率隨時間變化的情況，各個時刻的瞬時頻率及其幅值——時頻聯合分析　　2.預備知識：何為基?何為內積?　　2.1 基　　傅立葉變換和小波變換，都會聽到分解和重構，其中這個就是根本，因為他們的變化都是將信號看成由若干個東西組成的，而且這些東西能夠處理還原成比原來更好的信號。那怎麼分解呢?
  • 不看任何數學公式來講解傅立葉變換
    今天我們再次給大家整理重發一篇去年分享過的《不看任何數學公式來講解傅立葉變換》一文，來增進大家的理解。而傅立葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變為乘法和除法，大學數學瞬間變小學算術有沒有。　　傅立葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。　　————————————————————————————————————　　下面我們繼續說相位譜：　　通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側面看的頻譜，但是這個頻譜並沒有包含時域中全部的信息。
  • 傅立葉變換終極解釋
    而傅立葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變為乘法和除法，大學數學瞬間變小學算術有沒有。傅立葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。———————————————下面我們繼續說相位譜：通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側面看的頻譜，但是這個頻譜並沒有包含時域中全部的信息。
  • 解讀「傅立葉變換」公式最直觀的來源
    前一篇文章說明了傅立葉變換形象直觀的原理，根據所述的原理來得出他直觀的變換公式：注意需要結合前一篇文章來理解。：前幾篇文章已經說明歐拉公式代表著一種旋轉運動，那肯定是複平面上進行，這樣才能表現的更加具體。
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    積分變換中時域和頻域非常重要，但也比較艱深，本篇我們從歐拉公式的角度出發來形象化的理解它的原理看到e^iθ首先就會想到歐拉公式，或者複平面上的一個夾角為θ的向量如果我們將θ用時間t代替隨著時間的流逝，從t=0開始，這個向量就會旋轉起來，當T=2π時正好旋轉了一圈
  • 神作:深入淺出傅立葉變換
    傅立葉分析可分為傅立葉級數（Fourier Serie）和傅立葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起。 二、傅立葉級數(Fourier Series)的頻譜 還是舉個慄子並且有圖有真相才好理解。
  • 如果看了這篇文章你還不懂傅立葉變換,那就過來掐死我吧(下)
    而傅立葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變為乘法和除法，大學數學瞬間變小學算術有沒有。傅立葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。下面我們繼續說相位譜：通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側面看的頻譜，但是這個頻譜並沒有包含時域中全部的信息。因為頻譜只代表每一個對應的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位。