小波的秘密1-小波變換概況與綜述

2020-12-04 電子產品世界

  1.有了Fourier,為什麼還需要Wavelet?

本文引用地址:http://www.eepw.com.cn/article/201704/346253.htm

  先來揭揭短:

  (1)Fourier分析不能刻畫時間域上信號的局部特性。

  (2)Fourier分析對突變和非平穩信號的效果不好,沒有時頻分析。

  傅立葉變換將函數投影到正弦波上,將函數分解成了不同頻率的正弦波,這不能不說是一個偉大的發現,但是在大量的應用中,傅立葉變換的局限性卻日趨明顯,事實上在光滑平穩信號的表示中,傅立葉基已經達到了近似最優表示,但是日常生活中的信號卻並不是一直光滑的,而且奇異是平凡的,傅立葉在奇異點的表現就著實讓人不爽,從方波的傅立葉逼近就可以看出來,用了大量不同頻率的三角波去逼近其係數衰減程度相當緩慢,而且會產生Gibbs效應。其內在的原因是其基為全局性基,沒有局部優化能力,以至局部一個小小的擺動也會影響全局的係數。實際應用中很需要時頻局部化,傅立葉顯然缺乏此能力了。即使如此,由於其鮮明的物理意義和快速計算,在很多場合仍然應用廣泛。傅立葉變換在從連續到離散的情形是值得借鑑與學習的,大家都知道,時間周期對應頻域離散,時間離散對應頻域周期,時間離散周期對應頻域離散周期,DFT其實是將離散信號做周期延拓然後做傅立葉變換再截取一個周期,反變換同樣如此,所以DFT用的是塊基的概念,這樣如果信號兩端的信號連接後不再光滑(即使兩邊都光滑),同樣會在邊界上產生大幅值係數(邊界效應),延伸到圖像中就是塊效應。當對信號做對稱周期延拓後再做傅立葉變換得到的正弦係數全部為0,也就是任何對稱函數可以寫成餘弦的線性組合,同樣按照離散的思路構造得到的是離散塊餘弦基,即DCT變換,雖然DCT可以通過對稱後周期延拓再變換減少了邊界效應(兩邊信號接上了,但不一定平滑),但也不能消除塊效應,尤其是圖像變換中人為將圖像分成8*8處理後塊效應更加明顯。但是DCT很好的能量聚集效應讓人驚奇,加之快速計算方法使它替代DFT成為圖像的壓縮的標準了很長時間(JPEG)。

  閒扯了這麼多,不要迷糊,開始上圖:

  第一個就是傅立葉變換是整個時域,所以沒有局部特徵。這是由基函數決定的,同時如果在時域發生突變,那麼在頻域就需要大量的正弦波去擬合,這也是傅立葉變換性質決定的。

    

 

  第二個就是面對非平穩信號,傅立葉變換可以看到由哪些頻率組成,但不知道各成分對應的時刻是什麼。也就是沒有時頻分析,看不出來信號頻域隨著時間變換的情況,反過來說就是,一個的頻圖對應好幾個時域圖,不知道是哪個,這個在實際應用中就不方便了,如圖:

    

 

  如上圖,最上邊的是頻率始終不變的平穩信號。而下邊兩個則是頻率隨著時間改變的非平穩信號,它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。做FFT後,我們發現這三個時域上有巨大差異的信號,頻譜(幅值譜)卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩信號,我們從頻譜上無法區分它們,因為它們包含的四個頻率的信號的成分確實是一樣的,只是出現的先後順序不同(時間分辨性太差)。

  可見,傅立葉變換處理非平穩信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分,但是對各成分出現的時刻並無所知。因此時域相差很大的兩個信號,可能頻譜圖一樣。

  然而平穩信號大多是人為製造出來的,自然界的大量信號幾乎都是非平穩的,所以在比如生物醫學信號分析等領域的論文中,基本看不到單純傅立葉變換這樣naive的方法。

 

  上圖所示的是一個正常人的心電相關電位。對於這樣的非平穩信號,只知道包含哪些頻率成分是不夠的,我們還想知道各個成分出現的時間。知道信號頻率隨時間變化的情況,各個時刻的瞬時頻率及其幅值——時頻聯合分析

  2.預備知識:何為基?何為內積?

  2.1 基

  傅立葉變換和小波變換,都會聽到分解和重構,其中這個就是根本,因為他們的變化都是將信號看成由若干個東西組成的,而且這些東西能夠處理還原成比原來更好的信號。那怎麼分解呢?那就需要一個分解的量,也就是常說的基,基的了解可以類比向量,向量空間的一個向量可以分解在x,y方向,同時在各個方向定義單位向量e1、e2,這樣任意一個向量都可以表示為a=xe1+ye2,這個是二維空間的基:

    

 

  而FT的基是不同頻率的正弦曲線(整個時間),所以FT是把信號波分解成不同頻率的正弦波的疊加和:而對於小波變換就是把一個信號分解成一系列的小波(短時間),也許就會問,小波變換的小波是什麼啊,定義中就是告訴我們小波,因為這個小波實在是太多,一個是種類多,還有就是同一種小波還可以尺度變換,但是小波在整個時間範圍的幅度平均值是0,具有有限的持續時間和突變的頻率和振幅,可以是不規則,也可以是不對稱,很明顯正弦波就不是小波,什麼的是呢,看下面幾個圖就是:

    

 

  有了基,有什麼用呢?下面看一個傅立葉變換的實例:

  對於一個信號的表達式為x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t); 下面看圖形表示,感受一下頻域變換給人的一目了然:

    

 

  基具有非冗餘性,即使基不是正交的,有相關性,但若去掉其中任何一個,則不成為基,這一點也叫完備性;基的表示有唯一性,即給定一族基對一個函數的表達是唯一的;一般情況下基非正交,也稱為為exact frame(Resize basis),這個時候要表示信號可以將基正交化成唯一的正交基(對偶為其自身);也可以求其對偶框架(dual frame),其對應了小波變換中的雙正交情形!信號可以依框架分解,然後用對偶框架重構。若在基集裡添加一些新的向量,並隨意調整空間位置,則有可能成為框架。把函數與基或框架作內積,也可以說成是一種函數空間到係數空間的變換。若某種變換後的能量(內積的平方和度量)仍然有一個大於0的上下界,才可以成為框架,由於框架的冗餘性,所以係數的表達也不具有唯一性。若上下界相等,則為緊框架,且界表示冗餘度。若上下界相等為且為1,稱為pasval identity frame,此時不一定為正交基,此時若加上基的長度均為一的條件,則框架退化為正交基。可能你會問我們用基來表示信號就行了啊,為什麼還要框架呢?其實很多信號表示方法不能構成基,卻能構成框架,如短時傅立葉變換中如要求窗函數滿足基條件,則可推出該函數有很差的時頻局部化性質(事實上退化為了傅立葉變換)

  2.2 內積

  如果兩個向量的內積為0 ,就說他們是正交的。

  如果一個向量序列相互對偶正交,並且長度都為1,那麼就說他們是正交歸一化的。

  3.小波誕生的前一個晚上:短時傅立葉變換(STFT)

  有了缺點當然就想著改進了,這就出來了短時傅立葉變換,也叫加窗傅立葉變換,顧名思義,就是因為傅立葉變換的時域太長了,所以要弄短一點,這樣就有了局部性。

  定義:把整個時域過程分解成無數個等長的小過程,每個小過程近似平穩,再傅立葉變換,就知道在哪個時間點上出現了什麼頻率了。」這就是短時傅立葉變換。下面就是示意圖

    

 

  時域上分成一段一段做FFT,不就知道頻率成分隨著時間的變化情況了嗎!

  可能理解這一點最好的方式是舉例子。首先,因為我們的變換是對時間和頻率的函數(不像傅立葉變換,僅僅是對頻率的函數),它是二維的(如果加上幅度則是三維)。以下圖所示的非平穩信號為例:

    

 

  在這個信號中,在不同時刻有四個頻率分量。0-250ms內信號的頻率為100Hz,其餘每個250ms的間隔的信號頻率分別為50Hz,25Hz和10Hz。很明顯,這是一個非平穩信號,讓我們看一看它的短時傅立葉變換:用這樣的方法,可以得到一個信號的時頻圖了:

    

 

  既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四個頻域成分,還能看到出現的時間。兩排峰是對稱的,只用看一排就行。這貌似解決了問題,好像有了加窗技術,整個世界都亮了。沒有那麼簡單的,面對一個隨機的非平穩信號,那麼這個窗要多大了呢?(此時加窗傅立葉變換一臉的懵逼)

  窗太窄,窗內的信號太短,會導致頻率分析不夠精準,頻率解析度差。

  窗太寬,時域上又不夠精細,時間解析度低。

    

 

    

 

  下面通過一組實驗,我們深入探索這種加窗技術,問題出現在哪裡?

    

 

    

 

    

 

  上圖對同一個信號(4個頻率成分)採用不同寬度的窗做STFT,結果如右圖。用窄窗,時頻圖在時間軸上解析度很高,幾個峰基本成矩形,而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上,窄窗明顯不如下邊兩個寬窗精確。所以窄窗口時間解析度高、頻率解析度低,寬窗口時間解析度低、頻率解析度高。對於時變的非穩態信號,高頻適合小窗口,低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的,在一次STFT中寬度不會變化,所以STFT還是無法滿足非穩態信號變化的頻率的需求。

  4.小波來了

  時勢造英雄,小波開始一展拳腳了!

  對於加窗傅立葉變換讓人頭疼的就是窗口的大小問題,如果我們讓窗口的大小可以改變,不就完美了嗎?答案是肯定的,小波就是基於這個思路,但是不同的是。STFT是給信號加窗,分段做FFT;而小波變換並沒有採用窗的思想,更沒有做傅立葉變換。小波直接把傅立葉變換的基給換了——將無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率,還可以定位到時間了~

  就又回到了最開始的基了。

  小波變換採用的這些基函數會伸縮、會平移(其實是兩個正交基的分解)。縮得窄,對應高頻;伸得寬,對應低頻。然後這個基函數不斷和信號做相乘。某一個尺度(寬窄)下乘出來的結果,就可以理解成信號所包含的當前尺度對應頻率成分有多少。於是,基函數會在某些尺度下,與信號相乘得到一個很大的值,因為此時二者有一種重合關係。那麼我們就知道信號包含該頻率的成分的多少。如前文所述,小波做的改變就在於,將無限長的正弦函數基換成了有限長的會衰減的小波基。效果如下圖:

    

 

  從公式可以看出,不同於傅立葉變換,變量只有頻率ω,小波變換有兩個變量:尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函數的伸縮,平移量 τ控制小波函數的平移。尺度就對應於頻率(反比),平移量 τ就對應於時間。如下圖

    

 

  當伸縮、平移到這麼一種重合情況時,也會相乘得到一個大的值。這時候和傅立葉變換不同的是,這不僅可以知道信號有這樣頻率的成分,而且知道它在時域上存在的具體位置。而當我們在每個尺度下都平移著和信號乘過一遍後,我們就知道信號在每個位置都包含哪些頻率成分。看到了嗎?有了小波,我們從此再也不害怕非穩定信號啦!從此可以做時頻分析啦!

  3.1解決了局部性

    

 

  3.2解決時頻分析

    

 

  時域信號 FFT變換 小波分析

  有了這些,小波分析也就入門了。

  感謝大連理工大學機械工程碩士小木匠的出色工作。

  感謝杜克大學方圓之中對STFT的現狀所做的科普工作。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

相關焦點

  • 小波變換原理與應用_小波變換的基本原理_小波變換的應用
    打開APP 小波變換原理與應用_小波變換的基本原理_小波變換的應用 發表於 2018-01-13 09:42:37      小波變換的基本原理   傳統的信號理論,是建立在Fourier分析基礎上的,而Fourier變換作為一種全局性的變化,其有一定的局限性。在實際應用中人們開始對Fourier變換進行各種改進,小波分析由此產生了。
  • 小波變換教程(一):為什麼需要小波變換
    本文講解ROBI POLIKAR編寫的小波變換教程《THE WAVELET TUTORIAL》的第一部分:為什麼需要小波變換。
  • 小波變換通俗解釋
    從傅立葉變換到小波變換,並不是一個完全抽象的東西,可以講得很形象。小波變換有著明確的物理意義,如果我們從它的提出時所面對的問題看起,可以整理出非常清晰的思路。下面就按照傅立葉-->短時傅立葉變換-->小波變換的順序,講一下為什麼會出現小波這個東西、小波究竟是怎樣的思路。
  • Matlab傅立葉變換、餘弦變換和小波變換
    圖像小波變換的 Matlab 實現函數3.1 一維小波變換的 Matlab 實現(1) dwt 函數 Matlab功能:一維離散小波變換格式:[cA,cD]=dwt(X,'wname')[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)別可以實現一維、二維和 N 維 DFT說明:[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函數 'wname
  • 小波變換教程(1):基本原理
    小波變換是一個相對較新的概念(其出現大約是在20世紀80年代),但是有關於它的文章和書籍卻不少。這其中大部分都是由數學專業人士寫給其他同行看的,不過,仍然有大量數學專家不知道其他同行們討論的是什麼(我的一個數學教授就承認過)。換言之,大多數介紹小波變換的文獻對那些小波新手們來說用處不大(此為個人觀點)。
  • 完美通俗解讀小波變換,終於搞懂小波是什麼東東了
    恩,以上就是通常情況下你能在國內網站上搜到的小波變換文章告訴你的。但為什麼呢?這是我希望在這個系列文章中講清楚的。不過在這篇文章裡,我先點到為止,把小波變換的重要特性以及優點cover了,在下一篇文章中再具體推導這些特性。小波變換的本質和傅立葉變換類似,也是用精心挑選的basis來表示信號方程。
  • 小波變換通俗解釋版
    小波變換有著明確的物理意義,如果我們從它的提出時所面對的問題看起,可以整理出非常清晰的思路。下面就按照傅立葉-->短時傅立葉變換-->小波變換的順序,講一下為什麼會出現小波這個東西、小波究竟是怎樣的思路。
  • 小波變換 完美通俗解讀
    我並不claim我會把整個小波變換講清楚,這是不可能的事,我只能盡力去圍繞要點展開,比如小波變換相對傅立葉變換的好處,這些好處的原因是什麼,小波變換的幾個根本性質是什麼,背後的推導是什麼。我希望達到的目的就是一個小波變換的初學者在看完這個系列之後,就能用matlab或者別的工具對信號做小波變換的基本分析並且知道這個分析大概是怎麼回事。
  • 基於小波變換的圖像壓縮算法改進研究
    1 小波變換1.1 小波變換的產生及原理  儘管傅立葉(Fourier)變換可以確切地告訴人們某個信號是否包含特定的頻率分量,但它無法說明該頻率分量發生在哪個時間段。因此,它僅適用於處理平穩信號,而不適用於處理非平穩信號。
  • 基於FPGA實現多種小波變換
    引 言 基於提升框架的小波變換方法,利用FPGA 可編程特性可實現多種小波變換。在邏輯綜合時按不同小波的要求,改變參數可得到不同的結果。以圖像處理中常用的(5 ,3)濾波器為例說明依靠FPGA 的重組特性實現濾波器的小波變換核方法。實驗結果表明,利用FPGA 設計的提升小波變換核能滿足不同場合和不同運行的要求。 LS 小波變換理論 LS 變換過程如圖1 所示,逆變換與正變換相同,只是順序相反。
  • 基於SI濾波器的一種小波變換的實現
    小波變換是80年代後期發展起來的應用數學分支,是Fourier變換發展史上裡程碑式的進展,以Fourier變換理論為基礎,但在許多性質上又要優於Fourier變換。小波變換作為時一頻分析方法,能聚焦到信號時段和頻段的任意細節,具有「自適應性」和「數學顯微鏡」的美譽而得到越來越多的重視,成為信號處理、圖像壓縮和模式識別等眾多領域中一個非常有效的數學分析工具。
  • 圖像的二維提升小波變換的FPGA實現
    高階小波變化還可以用於實時處理視頻圖像信號,在減少編碼時間、提高壓縮比和降低失真度方面,都有很好的效果。因此,小波變換在圖像處理中具有十分優越的性能。本文引用地址:http://www.eepw.com.cn/article/150539.htm  國際標準化組織和國際電子技術聯盟聯合推出的新一代靜止圖像壓縮標準JPEG2000採用了基於提升算法的離散小波變換。
  • 基於FPGA 的多用途提升小波變換核
    引 言本文引用地址:http://www.eepw.com.cn/article/189802.htm基於提升框架的小波變換方法,利用FPGA 可編程特性可實現多種小波變換。
  • 高斯類小波變換的開關電流頻域法實現
    小波變換在時域、頻域均有良好的解析度[1],其應用廣泛[2-3]。本文提出了一個以頻域中的高斯函數單元為核心的共享結構系統實現3種高斯類小波變換。在此頻域共享結構實現方案中,復用頻域高斯函數單元採用開關電流電路實現頻域高斯類小波變換系統,不同尺度上的高斯類小波變換可通過調節開關電流電路的時鐘頻率獲得,所提出的頻域共享結構高斯類小波變換系統適合於製成通用型小波變換晶片。
  • 小波變換和motion信號處理(二)
    這是《小波變換和motion信號處理》系列的第二篇,深入小波。第一篇我進行了基礎知識的鋪墊,第三篇主要講解應用。是父小波。需要提醒一點的是,這個正交純粹是為了小波分析的方便而引入的特性,並不是說小波變換的基就一定必須是正交的。但大部分小波變換的基確實是正交的,所以本文就直接默認正交為小波變換的主要性質之一了。
  • 二維9/7小波變換VLSI設計
    1 引言 JPEG2000標準與JEPG標準最顯著的不同點是選用以小波變換為主的多解析度編碼方法。JPEG2000標準給出兩種雙正交小波濾波器,即有損壓縮和無損壓縮,前者採用CDF9/7小波,後者採用5/3小波。CDF9/7小波是圖像壓縮的首選濾波器,自然圖像壓縮性能好於5/3小波。 目前圖像二維離散小波變換的硬體實現方法有兩種:一種是採用分離的一維小波變換,另一種是設計非離散的二維小波變換結構。
  • 一種基於小波變換的圖像壓縮方法與實現
    小波理論在近三十年發展迅速,成為圖像處理的核心理論。圖像壓縮的國際新標準JPEG2000就是採用基於小波理論的新一代壓縮技術。2 小波變換2.1 小波及相關概念小波是一類在有限區間內快速衰減到0的函數。小波分析就是將信號分解為原小波(也叫小波基)函數不同位移和膨脹的小波。而小波變換就是採用小波理論,將原始信號進行處理,使其具有某些更適合後續處理的時頻特性。
  • 連續小波變換開關電流電路的實現
    本文在這種背景下提出了利用先進的開關電流集成電路技術來實現小波變換,以滿足實時信號處理的要求,並用實例驗證了該設計方法的正確性。 2 工作原理 小波函數的頻率響應h(jw)是幅頻特性比較集中的帶通函數。當採用不同尺度值a作處理時,各h(jaw)的中心頻率和帶寬都不一樣,但品質因數卻不變。從頻率上看,用不同尺寸作小波變換相當於用一組帶通濾波器對信號進行處理。
  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(1)——總綱
    本文引用地址:http://www.eepw.com.cn/article/201702/344594.htm  完全搞懂傅立葉變換和小波,你至少需要知道哪些預備知識?主頁君從今天開始就將通過一些列文章告訴你他們之間的來龍去脈!本節是全部系列文章的第一節——總綱,日後我們也將按照這個思路一點一點講述所有的知識。
  • 小波變換和motion信號處理(一)
    我們實驗室主要是搞圖像的,實力在全國也是很強的,進去後和師兄師姐聊,大家都在搞什麼小波變換,H264之類的。當時的我心思都不在這方面,盡搞什麼作業系統移植,ARM+FPGA這些東西了。對小波變換的認識也就停留在神秘的「圖像視頻壓縮算法之王」上面。後來我才發現,在別的很廣泛的領域中,小波也逐漸開始流行。比如話說很早以前,我們接觸的信號頻域處理基本都是傅立葉和拉普拉斯的天下。