傅立葉分析和小波分析的通俗演義

2021-02-24 21ic電子網

1. 關於海森堡不確定性原理  


不確定性原理，或者叫測不準原理，最早出自量子力學，意為在微觀世界，粒子的位置與動量不可同時被確定。但是這個原理並不局限於量子力學，有很多物理量都有這樣的特徵，比如能量和時間、角動量和角度。體現在信號領域就是時域和頻域。不過更準確一點的表述應該是：一個信號不能在時空域和頻域上同時過於集中；一個函數時域越「窄」，它經傅立葉變換的頻域後就越「寬」。


如果有興趣深入研究一下的話，這個原理其實非常耐人尋味。信號處理中的一些新理論在根本上都和它有所相連，比如壓縮感知。如果你剝開它複雜的數學描述，最後會發現它在本質上能實現就源於不確定性原理。而且大家不覺得這樣一些矛盾的東西在哲學意義上也很奇妙嗎，世界觀感覺就此被改變了。

2. 關於正交化    


什麼是正交化？為什麼說小波能實現正交化是優勢?


簡單說，如果採用正交基，變換域係數會沒有冗餘信息，等於是用最少的數據表達最大的信息量，利於數值壓縮等領域。JPEG2000壓縮就是用正交小波變換。


比如典型的正交基：二維笛卡爾坐標系的（1,0）、（0,1），用它們表達一個信號顯然非常高效，計算簡單。而如果用三個互成120°的向量表達，則會有信息冗餘，有重複表達。


但是並不意味著正交一定優於不正交。比如如果是做圖像增強，有時候反而希望能有一些冗餘信息，更利於對噪聲的抑制和對某些特徵的增強。

3. 關於瞬時頻率    


原問題：圖中時刻點對應一頻率值，一個時刻點只有一個信號值，又怎麼能得到他的頻率呢？


很好的問題。如文中所說，絕對意義的瞬時頻率其實是不存在的。單看一個時刻點的一個信號值，當然得不到它的頻率。我們只不過是用很短的一段信號的頻率作為該時刻的頻率，所以我們得到的只是時間解析度有限的近似分析結果。這一想法在STFT上體現得很明顯。小波等時頻分析方法，如用衰減的基函數去測定信號的瞬時頻率，思想也類似。

4. 關於小波變換的缺點    


這要看和誰比了。


A.作為圖像處理方法，和多尺度幾何分析方法（超小波）比：


對於圖像這種二維信號的話，二維小波變換隻能沿2個方向進行，對圖像中點的信息表達還可以，但是對線就比較差，這時候ridgelet（脊波）, curvelet（曲波）等多尺度幾何分析方法就更有優勢了。


B. 作為時頻分析方法，和HHT比：


相比於HHT等時頻分析方法，小波依然沒脫離海森堡測不準原理的束縛，某種尺度下，不能在時間和頻率上同時具有很高的精度；以及小波是非適應性的，基函數選定了就不改了。

相關焦點

  • 傅立葉分析和小波分析之間的關係之通俗終極版
    但是這個原理並不局限於量子力學，有很多物理量都有這樣的特徵，比如能量和時間、角動量和角度。體現在信號領域就是時域和頻域。不過更準確一點的表述應該是：一個信號不能在時空域和頻域上同時過於集中；一個函數時域越「窄」，它經傅立葉變換的頻域後就越「寬」。如果有興趣深入研究一下的話，這個原理其實非常耐人尋味。信號處理中的一些新理論在根本上都和它有所相連，比如壓縮感知。
  • 傅立葉分析和小波分析之間的關係之通俗終極版
    但是這個原理並不局限於量子力學，有很多物理量都有這樣的特徵，比如能量和時間、角動量和角度。體現在信號領域就是時域和頻域。不過更準確一點的表述應該是：一個信號不能在時空域和頻域上同時過於集中；一個函數時域越「窄」，它經傅立葉變換的頻域後就越「寬」。如果有興趣深入研究一下的話，這個原理其實非常耐人尋味。信號處理中的一些新理論在根本上都和它有所相連，比如壓縮感知。
  • 小波變換通俗解釋
    從傅立葉變換到小波變換，並不是一個完全抽象的東西，可以講得很形象。小波變換有著明確的物理意義，如果我們從它的提出時所面對的問題看起，可以整理出非常清晰的思路。下面就按照傅立葉-->短時傅立葉變換-->小波變換的順序，講一下為什麼會出現小波這個東西、小波究竟是怎樣的思路。
  • 小波變換通俗解釋版
    一、傅立葉變換關於傅立葉變換的基本概念在此我就不再贅述了，默認大家現在正處在理解了傅立葉但還沒理解小波的道路上。下面我們主要將傅立葉變換的不足。即我們知道傅立葉變化可以分析信號的頻譜，那麼為什麼還要提出小波變換？答案「對非平穩過程，傅立葉變換有局限性」。看如下一個簡單的信號：
  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(1)——總綱
    無論是學習信號處理，還是做圖像、音視頻處理方面的研究，你永遠避不開的一個內容，就是傅立葉變換和小波。但是這兩個東西其實並不容易弄懂，或者說其實是非常抽象和晦澀的!
  • 小波分析法在期市中的應用
    在技術分析中，雖然我們採用MA、SMA、自適應均線等方法來過濾部分無效數據，但是技術分析存在嚴重的滯後性。另一種常用的去噪方法是頻域分析法，例如，傅立葉變換。傅立葉變換在分析平穩信號時具有良好的特性，但是期貨市場數據通常具有非平穩、非線性特點，對於這類非平穩信號，其有限加和的方法不能很好地反映時間序列的高頻率變化。
  • 應用傅立葉-小波檢測方式的並聯型有源電力濾波器,電能質量高
    並聯型有源電力濾波器（SAPF）是治理諧波汙染的有效手段，能有效地抑制和補償電網中的諧波成分。它的關鍵技術是檢測出補償對象電流中的諧波和無功等電流分量。由於常用小波變換對頻域劃分粗略，以及變換後不能直接得到頻譜信息，所以為了克服此缺點，提出一種傅立葉-小波檢測方法。
  • 小波變換 完美通俗解讀
    但這些年，小波在信號分析中的逐漸興盛和普及。這讓人不得不感到好奇，是什麼特性讓它在圖象壓縮，信號處理這些關鍵應用中更得到信賴呢?說實話，我還在國內的時候，就開始好奇這個問題了，於是放狗搜，放毒搜，找遍了中文講小波變換的科普文章，發現沒幾個講得清楚的，當時好奇心沒那麼重，也不是搞這個研究的，懶得找英文大部頭論文了，於是作罷。
  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(3)——泰勒公式及其證明
    這是我們循序漸進引出傅立葉的最後一項任務，完成這一步的學習之後，你就可以從級數的角度，了解傅立葉的意義了。本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/201703/344944.htm　　完全搞懂傅立葉變換和小波(1)——總綱　　http://www.eepw.com.cn/article/201703/344766.htm　　完全搞懂傅立葉變換和小波(2)—
  • 小波的秘密1-小波變換概況與綜述
    知道信號頻率隨時間變化的情況，各個時刻的瞬時頻率及其幅值——時頻聯合分析　　2.預備知識：何為基?何為內積?　　2.1 基　　傅立葉變換和小波變換，都會聽到分解和重構，其中這個就是根本，因為他們的變化都是將信號看成由若干個東西組成的，而且這些東西能夠處理還原成比原來更好的信號。那怎麼分解呢?
  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(4)——歐拉公式及其證明
    完全搞懂傅立葉變換和小波(1)——總綱　　http://www.eepw.com.cn/article/201702/344594.htm　　完全搞懂傅立葉變換和小波(2)——三個中值定理　　http://www.eepw.com.cn/article/201703/344766
  • 小波變換教程(一):為什麼需要小波變換
    連結：http://users.rowan.edu/~polikar/WTtutorial.html該教程的目錄如下，主要分為四個部分：1）概覽：為什麼需要小波變換；2）基礎：傅立葉變換及短時傅立葉變換；3）多尺度分析：連續小波變換；4）多尺度分析：離散小波變換這是一篇引導性的教程，作者將給出小波變換的基本原理，而不會涉及公式和理論的證明。
  • 完美通俗解讀小波變換,終於搞懂小波是什麼東東了
    有了傅立葉變換的基礎，接下來，我們就看看什麼是小波變換。首先來說說什麼是小波。所謂波，就是在時間域或者空間域的震蕩方程，比如正弦波，就是一種波。什麼是波分析？針對波的分析拉（囧）。並不是說小波分析才屬于波分析，傅立葉分析也是波分析，因為正弦波也是一種波嘛。那什麼是小波呢？這個」小「，是針對傅立葉波而言的。傅立葉所用的波是什麼？
  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(6)——傅立葉級數展開之函數項級數的性質
    所以如果要徹底搞清楚傅立葉變換，那麼討論函數項級數的性質是非常有必要的。在此基礎上，我們將引入傅立葉級數的概念。本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/201703/345530.htm　　如果你對本文涉及的基礎問題不甚了解，那麼建議你閱讀本文前面的部分。希望讀者能日積月累，夯實基礎。
  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(5)——傅立葉級數展開之函數項級數的概念
    完全搞懂傅立葉變換和小波(1)——總綱　　http://www.eepw.com.cn/article/201702/344594.htm　　完全搞懂傅立葉變換和小波(2)——三個中值定理　　http://www.eepw.com.cn/article/201703/344766
  • 電弧信號小波去噪分析
    利用小波去噪方法分析電弧信號是小波分析應用於實際工程的重要方面。波變換具有多解析度的特點，在時域和頻域都具有表徵信號局部特徵的能力，適合分析非平穩信號，可以由粗及精地逐步觀察信號。1984年，法國地球物理學家Morlet首次採用小波的局部特性分析了地震波，自此開啟了小波應用和研究發展的新時代。小波變換的基本思想是將原始信號經過伸縮、平移之後分解為一系列子帶信號，這些子帶信號具有不同的頻率特性、不同的空間解析度和方向特性，能夠在時域和頻域表達原始信號的局部特徵，進一步體現分析信號的時、頻局部化特徵。
  • 小波變換原理與應用_小波變換的基本原理_小波變換的應用
    小波變換（wavelet transform，WT）是一種新的變換分析方法，它繼承和發展了短時傅立葉變換局部化的思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點，能夠提供一個隨頻率改變的「時間-頻率」窗口，是進行信號時頻分析和處理的理想工具。
  • 完全搞懂傅立葉變換和小波(2)——三個中值定理
    當然如果你需要對傅立葉變換有一個更深刻的認識，或者說從數學角度一點一滴完全搞懂它，為了體系的完整性，這部分知識還是必須的。本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/201703/344766.htm　　上篇文章連結地址：完全搞懂傅立葉變換和小波(1)——總綱　　http://www.eepw.com.cn/article/201702/344594.htm　　由於公式較多，這裡只能貼圖啦。
  • 基於時頻分析提取股票日內交易數據的量價特徵
    (時域分析)頻率特性：信號的頻帶寬度、各分量振幅、相位隨頻率的分布情況。(頻域分析)時頻分析：用獨立的兩個域中來討論頻率隨時間變換的非平穩信號（時變信號）是不合適的。必須將兩個域結合起來進行分析——這就是所謂的時頻分析。它是在時間-頻率域上對信號進行分析。時頻分析是處理非平穩信號的常用方法，是將一維時域信號映射到二維時頻空間的一種刻畫和表述方法。
  • 理解傅立葉級數——分析公式
    這一篇中重點關注傅立葉級數兩個式子中的一個，希望看完本篇，各位都能對傅立葉級數的分析原理有一個比較完整的認識。^_^如果沒有看過之前的文章，建議看一下前兩篇的內容（《我眼中的最美公式》和《關於圓周運動的一點討論》），將對理解本篇有很大的幫助。