自我們人類有史以來，信號就是時刻伴隨著我們的。
比如在遠古時代，古人們之間還沒有語言，他們對彼此做的各種手勢、各種肢體動作都是信號，其中包含著想要表達的信息，比如小心野獸、撤回營地等等。
到了後來，人類開始有了自己的語言，語言的出現使人類的文明程度上升到了一個新的高度，因為我們開始注重對信息的處理，並不斷地加強對信息的處理，開始追求統一化、標準化。
這裡必須明確信號與信息的區別：信號是運載信息的載體，沒有信息，信號將毫無意義；而信息則是知識等用於交流的消息抽象代名詞，沒有載體運載信息、信息也將毫無意義。可以說信號與信息既是完全不同的兩個概念，又是密不可分的。
可以說語言催動了「電話」的誕生，而在電話出現之前，首先出現的是用於軍事方面的通信系統：1793年，法國查佩兄弟倆在巴黎和裡爾之間架設了一條230千米長的接力方式傳送信息的託架式線路。這是一種由16個信號塔組成的通信系統。信號機由信號員在下邊通過繩子和滑輪，操縱支架的不同角度，表示相關的信息。當時，法國和奧地利正在作戰，信號系統只用一個小時就把從奧軍手中奪取埃斯河畔孔代的勝利消息傳到巴黎。
20世紀60年代中期高速數字計算機的誕生將人類的信號與信息處理能力帶入了一個空前的水平。人類也進入「資訊時代」。由法國數學家傅立葉提出的傅立葉變換、以及衍生出各種變換，到現在的快速傅立葉變換等等開始廣泛地被應用到各種利用計算機處理的信息中，高速計算機和這些算法的結合，開啟了信號與信息處理的一個嶄新時代。
今天我們就來從做鍋包肉的角度理解一下傅立葉變換。
請看下圖：他顯示的信號有四個頻率分量：分別是5，10，20，50Hz。
x(t) = cos(2 \pi \cdot 5 t) + cos(2 \pi \cdot 10 t) + cos(2 \pi \cdot 20 t) + cos(2 \pi \cdot 50 t)的圖像
但是我們只從上圖中並不能從這個時域信號中看出信號的各個頻率分量。
就好像我第一次吃鍋包肉，並不能準確判斷裡面都用了什麼佐料。（那時候還沒有做過飯）
數學世界裡面的「大廚師」傅立葉認為：一般周期信號是由多個乃至無窮多個不同頻率的諧波信號線性疊加而成的。即他在信號處理領域實現了把鍋包肉逆轉化的過程。
傅大廚告訴我們，這些我們看到的世界如：股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發生改變。這種以時間作為參照來觀察動態世界的方法我們稱其為時域分析。而這些我們也想當然認為的不斷變化的世界。用「傅大廚」的視角去看的話都是永恆不變的，這個靜止的世界就叫做頻域。
比如上面的信號，經過傅立葉變換之後就得到了如下的圖像：
大家看，是蘿蔔是白菜，還是裡脊肉，一目了然。我們看到的時域永遠騷動的世界，瞬間也靜止了下來。
從某種程度上講，可以說傅立葉變換是振動診斷的基礎，也可以說正是有了它才有了現在的故障診斷這個學科。
乍一看我好像是會做鍋包肉了，但是實際則不然，因為我不知道這些食材烹飪的順序。「傅大廚」我火都開了，你就跟我說這些，不夠啊！
這就好像是下圖這個意思，我是混合信號，還是先低頻信號再高頻，亦或者是先高頻信號再低頻，傅立葉變化之後都是差不多的。
也就是說「傅大廚的寶典」處理非平穩信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現的時刻並無所知。因此時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖一樣。
所以想完全複製出一盤鍋包肉，我們還要分析出食材加入的時間點。就像是我們處理上面那三個信號，要知道各個頻率的時間點。因此就有了小波分析。
從下面的動圖我們可以觀察出來，傅立葉變換的函數基都是三角函數，而三角函數可以看作是一個「大波」。
那小波為什麼能解決問題呢？是因為小波變換將傅立葉變換中無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。
從小波的公式可以看出，它有兩個變量（「傅大廚」的只有一個頻率分量）：尺度a（scale）和平移量t（translation）。尺度a控制小波函數的伸縮，平移量控制小波函數的平移。尺度就對應於頻率（反比），平移量t就對應於時間。
在此過程中，選取母小波作為所有窗口的原型。所有使用的窗口都是放大(或壓縮)和移動的母小波。為了方便起見，從尺度s = 1開始，分析將從高頻開始，向低頻進行。s的第一個值對應的是壓縮幅度最大的小波。隨著s值的增大，小波會膨脹。小波被放置在信號的開始點對應於的時間。
這時候和傅立葉變換不同的是，這不僅可以知道信號有這樣頻率的成分，而且知道它在時域上存在的具體位置。
上圖為信號的連續小波變換結果。值得注意的是坐標軸是平移和縮放，而不是時間和頻率。然而，平移與時間是嚴格相關的，因為它表明了母小波的位置。母小波的平移可以被認為是時間流逝。
本著學習信號處理的思路，今天小編終於學會了做鍋包肉，一家人也愉快地生活在了一起。
參考資料：
【1】維基百科
【2】知乎
【3】物理學史
【4】計算機歷史
【5】半導體物理學
【6】半導體器件物理
【7】https://twitter.com/AkiyoshiKitaoka
【8】https://www.reddit.com/r/pics/comments/px2j3/made_a_gif_of_the_munkerwhite_illusion_for_class/
【9】https://twitter.com/NovickProf/status/1139342022551191553
【10】https://www.youtube.com/watch?v=nTOTmED9EzU 【11】 數字文明·物理學與計算機
【12】THE WAVELET TUTORIAL
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