一、傅立葉級數相關的基本概念
設有兩列實數{ak}，{bk}，稱形如
的函數項級數為三角級數，稱{ak}，{bk}為此三角級數的係數．該三角級數由下列三角函數系組成
該三角函數系的函數都為周期為2π的周期函數. 在一個周期內，該三角函數系具有所謂的「正交性」：在一個周期上，除1外，兩個相同函數的乘積的定積分為π；兩個不同函數的定積分為0. 即
其中n,k均為非負整數．
【注】以上結果可以直接應用於相應三角函數積分的計算.
二、周期為2π的函數的傅立葉級數展開
第一步：計算傅立葉係數
根據周期函數的定積分性質，由以下公式計算函數f(x)在任意區間長度為2π的區間上的定積分.一般取為直接定義函數的一個周期區間。常取為[-π, π]，即
第二步：以傅立葉係數為係數，寫出三角級數
【注1】在將函數展開為傅立葉級數時，最好先畫出其圖形，這樣容易看出其奇偶性及間斷點,從而便於計算係數和寫出收斂域.
【注2】在計算傅立葉係數時，一般對於n=0單獨計算，如果在使用通用公式計算的過程中，通項公式中有n值使得通項公式無意義，則對於這樣的n值對應的係數也應該單獨計算.
第三步：基於狄利克雷收斂定理判定傅立葉級數的收斂性
狄利克雷收斂定理：如果周期為2π的周期函數f(x)在一個周期上分段連續，並且在一個周期上只有有限個極值點和有限個第一類間斷點，則函數f(x)的傅立葉級數收斂，並且有
其中f(x+0)和f(x-0)分別為函數f(x)在點x處的右極限與左極限．即在連續點處傅立葉級數收斂於函數本身S(x)=f(x)；在間斷點處收斂於該點左、右極限的算術平均值．
第四步：函數展開成傅立葉級數
依據定理得到和函數等於被展開函數f(x)的集合I，最終寫出附帶集合I的等式
【注1】在收斂於f(x)的點，稱函數f(x)可以展開成傅立葉級數，即有
所以將函數展開成傅立葉級數必須是等式並且附帶連續點描述的集合。
【注2】特別注意對應傅立葉級數的和函數與被展開函數的區別與聯繫！
【注3】傅立葉級數的部分和有很好的整體逼近性質，冪級數的局部逼近性質比較好．冪級數展開需要函數有很好的「光滑性」，傅立葉級數對「光滑性」的要求較低．
【注4】如果函數為奇函數，則函數的傅立葉級數僅僅包含正弦項，則這樣傅立葉級數稱之為正弦級數，此時只需要計算傅立葉級數的係數bn(1,2,…)；如果函數為偶函數，則函數的傅立葉級數僅僅包含餘弦項和常數項，則這樣傅立葉級數稱之為餘弦級數，此時只需要計算傅立葉級數係數an(0,1,2,…).