對傅立葉級數的理解

有些講傅立葉級數的文章涉及的內容較深，對於一些數學知識不夠的學生來說有點兒難以看懂。本文從較基本概念出發，試圖將傅立葉級數的基本概念講清。由於本人才疏學淺，錯誤地方在所難免，望大家不吝賜教。

閱讀本文有一個要求：希望大家能夠跟著計算，這樣才能真正理解。

   首先，我們從最基本的矢量出發。

   我們都知道:

相信大家都知道為空間中的n個單位正交基。我們規定Rn中的一組基，若滿足

=       i，j=1,2，···，n

那麼稱其為單位正交基。通過這組基可以表示由這組基張成的n維空間中的任何向量。那麼，對於一個由無數函數構成的無窮維函數空間，是否也存在這樣一組基呢，使得任意函數均可由這組基表示？答案是肯定的。不過在講這組基之前，我們先介紹一下函數內積的概念。

   一般來說,在閉區間[a,b]上,兩個連續函數f(x),g(x)的內積定義為二者乘積在[a,b]上的黎曼積分，即

                    ,

同樣我們類比定義函數空間中的一組單位正交基，滿足

         ,   i, j=1,2,···，n      

現在，我們來講函數空間中的那組正交基。

傅立葉在對熱傳導問題的研究中為了求解偏微分方程而建立了傅立葉級數，傅立葉級數理論表明任何一個函數都可以用三角函數的和來表示，而這些三角函數正是傅立葉找到的那組正交基：

我們也稱此為三角函數系。

  下面我們來驗證一下，三角函數系是否滿足正交基的定義。對於三角函數我很很自然會取閉區間

①   （1，sin（kx））=；k=1,2，···

②   （sin（kx），sin（hx））=；；k，h=1,2,3···

③   （cos（kx），cos（hx））=；k，h=1,2,3···

註：利用積化和差公式很容易求得上述結果

④   （1,1）= ；

⑤   （sin（kx），sin（kx））= ；

⑥   （cos（kx），cos（kx））= ；

從①～⑥可以看出三角函數系的確是一組正交基，但由於函數與自身的內積不為1，故這組基不是單位正交基。

類比矢量的長度，我們定義函數的長度（以區間，為例說明）

                      ∣∣=

通過這個，我們便可以對基進行單位化：

 

當然，為了方便我們也可以不用單位正交基，而只用正交基，於是任意函數可以表示為

                       

三角函數前的係數為該函數在這一個基上的分量。類比向量分量的運算：

                        ，

其中。我們定義函數在某一基上的分量為

                    

其中表示函數空間中的某一基。

於是，我們可以求得中的，，，計算方式如下：

⑴         

            

故；

⑵                                  

                  

同理

⑶          ；

於是，

 

綜合⑴～⑶可得

這個式子即為係數的表達式，如果是用單位正交基，那麼直接內積後便可得係數。

   這與泰勒級數一樣，雖然都求出了係數，但卻不一定能夠收斂到，這是有條件的。這個條便是狄利克雷收斂定理。有興趣的可以自行查閱數學分析教材或高等數學教材。

   這樣我們就基本弄清了傅立葉級數的模樣，更深內容留待大家自行學習。

參考文獻：

⑴         《高等數學》，天津大學數學系，高等教育出版社；

⑵         課堂筆記