用傅立葉級數作畫:可以畫出任意你想要的圖形

利用函數來畫任意圖形

最近我們經常看到像鳥叔，初音之類的通過函數圖像來畫出來，看上去十分神奇的樣子，wolframalpha這裡有大量的通過函數圖像來畫人物的例子，大家可以去圍觀，而且最上面我這幾個字也是我用函數圖像畫出來的，今天我們就說說這是怎麼做到的。

傅立葉級數,我怎能不因你而著迷?

01 傅立葉級數簡介1822年，法國著名數學家傅立葉在研究熱傳導理論時提出並證明了周期函數可以展開為正弦級數的原理，這奠定了傅立葉級數的理論基礎。傅立葉級數可以理解為一種信號分解技術，它將目標信號分解成不同頻率的子信號從而減小信號處理的難度並完成信號的處理工作。

數學中，無窮級數非常重要。它們廣泛用於計算器和計算機中。工程和科學中研究的許多現象本質上都是周期性的，例如。交流電路中的電流和電壓。可以通過傅立葉分析將這些周期函數分解為單個的組成成分（諧波）。這些特殊的三角函數的總和稱為傅立葉級數。傅立葉級數真的很有趣，因為它使用了您以前學過的許多數學技術，例如圖形，積分，微分，求和符號，三角學等。如果您遇到困難，希望這篇簡易的文章對你有所，首先了解下最基本的級數形式我們知道用泰勒級數如何將許多函數（如sin x，Inx，e^x等）重新表達為具有無限數量項的多項式。

傅立葉級數應知必會

；另一方面則在於藉由級數表示可以給出周期信號的頻譜（離散線狀譜）的概念，這個概念開闢了在頻率域認識信號的新的角度（之前我們對一個信號的直觀認識往往停留在它的時域波形上）。三種傅立葉級數表示形式對於連續時間周期信號的傅立葉級數，在「高數」課程中已經做過討論，基本的結論就是：只要一個周期函數在一個周期上可積，那麼我們總可以由這個周期函數作出一個三角級數，在滿足一定條件的情況下，該級數收斂，並且收斂於這個周期函數。這個三角級數就被稱為該周期函數的傅立葉級數。

《傅立葉級數基本概念及其收斂性》內容小結、題型與典型題

【注】以上結果可以直接應用於相應三角函數積分的計算. 二、周期為2π的函數的傅立葉級數展開第一步：計算傅立葉係數根據周期函數的定積分性質，由以下公式計算函數f(x)在任意區間長度為2π【注1】在將函數展開為傅立葉級數時，最好先畫出其圖形，這樣容易看出其奇偶性及間斷點,從而便於計算係數和寫出收斂域.

對傅立葉級數的理解

有些講傅立葉級數的文章涉及的內容較深，對於一些數學知識不夠的學生來說有點兒難以看懂。本文從較基本概念出發，試圖將傅立葉級數的基本概念講清。由於本人才疏學淺，錯誤地方在所難免，望大家不吝賜教。閱讀本文有一個要求：希望大家能夠跟著計算，這樣才能真正理解。首先，我們從最基本的矢量出發。

你學不到的知識:我們從全新的視角推導出傅立葉級數

當你說話的時候，一種波被帶到你朋友的耳朵裡，這樣你的朋友就可以聽懂你在說什麼。傅立葉變換和傅立葉級數是理解這些波非常重要和有用的技術。長話短說，傅立葉變換是用不同的正弦波和餘弦波來近似你感興趣的信號(波)。我希望你們記得sin和cos，如下圖什麼是正交函數在開始推導傅立葉變換方程之前，讓我們先了解一下正交函數。

從泰勒級數說傅立葉級數

是用一個函數在某點的信息，描述其附近取值的公式。如果函數足夠平滑，在已知函數在某一點的各階導數值的情況下，泰勒公式可以利用這些導數值來做係數，構建一個多項式近似函數，求得在這一點的鄰域中的值。泰勒公式的實際應用就是用一個多項式函數去逼近一個給定的函數(即儘量使多項式函數圖像擬合給定的函數圖像)，注意，逼近的時候一定是從函數圖像上的某個點展開。

非正弦周期信號的傅立葉級數分解

對於線性電路，周期性非正弦信號可以利用傅立葉級數展開把它分解為一系列不同頻率的正弦分量，然後用正弦交流電路相量分析方法，分別對不同頻率的正弦量單獨作用下的電路進行計算，再由線性電路的疊加定理，把各分量疊加，得到非正弦周期信號激勵下的響應。這種將非正弦激勵分解為一系列不同頻率正弦量的分析方法稱為諧波分析法。

一文秒懂傅立葉級數

這一點是傅立葉級數與冪級數的一個重要區別。求一個函數的傅立葉級數，自然要求出傅立葉級數中的係數。為了能夠更好地幫助大家理解係數的由來，小編先給出推導，首先求a0，具體過程如下：考慮到a0的幾何意義，因此在三角級數中用到的是a0/2，此處回答了第1節的問題。

持續學習:數學分析子冪級數與傅立葉級數2

：a0/2 + Σ(an·cosnx+bn·sinnx) ;通過三角恆等變換出三角級數前n項和，三角多項式：sn(x)=a0/2 + Σ(ak·coskx+bk·sinkx) k:1->n正交函數列：{φn(x)}，滿足：每個函數都在[a,b]可積，且 ∫φn(x)φm(x)dx=0 |a->b n不等於m三角函數系的正交性：三角函數系中任意兩個不同函數的乘積在區間[-π,π]上積分為

傅立葉級數——這樣「魔法」波形的基本概述與動畫解釋

理解傅立葉級數(和由此的傅立葉變換，以及離散傅立葉變換)的關鍵是我們人類一個古老的欲望，即想用與圓有關的項來表示一切。這篇文章的其餘部分圍繞著這個妙不可言的聯繫，傅立葉觀察的核心就源於下面這個優雅而又引人入勝的認識：從一個圓簡單地旋轉中就可以創造出正弦和餘弦的三角函數。

傅立葉級數兩例

就其本身而言，每一個分子都是枯燥而機械的，然而，當它們結合起來，不同部分的互動就會創造出一種豐富的視聽體驗。而這些用數學的語言描述出來，也許正是傅立葉級數闡述的：動畫見：https://www.seditionart.com/memo-akten/simple-harmonic-motion-8傅立葉級數想要描述的是周期現象，所以討論的是周期函數。

傅立葉級數的見證——當空中飛人與攀巖者握手的時候

許多特殊函數可以用這些基本的函數來直接表達，更重要的是，在一般情況下談論與研究函數往往是比較棘手的，於是便有了級數理論。在級數理論中，這些基本函數會用來表示或逼近一個函數，甚至可以直接作為線性空間的基。偉大的魏爾斯特拉斯晚年回憶自己的工作時說，「沒有別的，就是冪級數」。

理解傅立葉級數——分析公式

上一篇中使用相對直觀的方式建立了對傅立葉級數的初步印象，這一篇中，咱們將繼續探討傅立葉級數的理解問題。

高等數學(二十六),無窮級數求和及傅立葉級數

也可以推薦給您的同學或朋友。請分享公眾號到你的班級群，謝謝！部分同學可能搞不懂傅立葉級數，我在此把自己的理解寫出來。如果一個以為周期的函數可以展開成傅立葉級數，那麼可以設: 但是此時我們不知道這些的表達式，因此我們要做的就是把確定下來。

傅立葉級數的幾何意義(先理解後記憶)

我們的提綱如下：為什麼我們要分解一個函數傅立葉級數就是三角級數2.1 傅立葉級數就是把周期函數展開成基頻和倍頻分量2.2 每個分量的大小我們用投影的方法來求。————————————————————————你是大學生嗎？你學理工科嗎？你還不知道傅立葉級數嗎？

人人都能看懂的對「傅立葉級數」非常直觀的描述

學過信號處理的夥伴，是否還記得傅立葉這三個字在學習資料中隨處可見，其應用影響深遠。從天體運行的規律出發，地球月亮太陽三者的運動地球和月亮看作質點，他們的運行軌跡就是上述地球月亮太陽三者的的運動規律，就包含著傅立葉級數最基本的含義先看一個單一的正弦函數的運動軌跡，右邊是在坐標軸上的圖示再加一個圓，兩個圓的合成運動圖示再增加一個圓，三個圓的合成運動圖示5個圓的合成運動圖示：

【原創】圖解傅立葉變換

、幅值和相位的正弦波組合而成，傅立葉變換就是將任意波形（這裡的方波）中的各分量分離出來。硬體上可以採用窄帶濾波器，但實際上硬體開銷是難以接受的，通常採用的是數學方法——歐拉濾波器。圖1-6-2 45度對應的投影圖1-6-3 90度對應的投影通過對比可知初始相位可以用圖中兩條正弦波的均值求反正切獲得

傅立葉變換終極解釋

軟銀的Pepper機器人學會了玩飛鏢未來殘疾人的好助手：可以用思想控制的機械臂不管是什麼語言，Omnity搜尋引擎總能找到你想要的文件這篇文章的核心思想就是：要讓讀者在不看任何數學公式的情況下理解傅立葉分析。