傅立葉級數兩例

2021-03-01 Enjoy Math2

視覺藝術家、音樂家、工程師邁墨·阿克頓的系列數字作品《簡諧運動》通過「簡單」研究「複雜」，探索由簡單的多層韻律互動而產生的複雜圖案的本質。定製的軟體生成了許多「分子」，每個分子都被賦予一個簡單的行為：一個不斷重複的運動和聲音的模式。就其本身而言，每一個分子都是枯燥而機械的，然而，當它們結合起來，不同部分的互動就會創造出一種豐富的視聽體驗。而這些用數學的語言描述出來，也許正是傅立葉級數闡述的：

動畫見：

https://www.seditionart.com/memo-akten/simple-harmonic-motion-8

傅立葉級數想要描述的是周期現象，所以討論的是周期函數。相較於冪級數那節討論的函數類，這一塊內容裡的函數不需要光滑條件那麼強，基本的要求是函數的可積性。

有了可積性，可以運用歐拉-傅立葉公式計算各傅立葉係數，然後寫出給定函數的傅立葉展開式。但與冪級數的情形類似，一個函數的傅立葉級數並不一定收斂到原來這個級數本身。收斂定理告訴我們，在較寬泛的條件下，級數逐點收斂到函數在該點左右極限的算術平均值。所以，在函數的連續點上，傅立葉級數確實能收斂到該點的函數值。

例1

這道題很多孩子規規矩矩地用歐拉-傅立葉定理計算傅立葉級數，代入點，想求得值。但這是不太能實現的，而且吃累不討好：不說計算量不小，而且得到的是一個數項級數，並不是一個數值（也許有孩子想通過這個數項級數求出和，這個思路，實現起來也不是半小時夠用的~）。收斂定理的power需正視！

相較於例1，例2其實是很「規矩」的一道題。

例2.

第二部分有兩種做法：

【法一】

【法二】

此題的第一部分，多見的錯誤是自行修改積分區域。題設給的是0到2\pi，總有孩子改成-\pi到\pi，不知為何？改就改吧，那函數在0到2\pi的表達式和在-\pi到\pi的表達式一般是不同的，這需要運用周期性寫出來，然後,.也沒有啥然後，有些孩子自動默認兩個區間函數表達式一致.

第二部分，用收斂定理是常規做法，但是，0點不是連續點，這一事實未被重視！帕塞瓦爾定理用在這也很合適，不過貝塞爾不等式就不合適了~

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    1.4 傅立葉級數展開本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/201703/345383.htm　　之前我們在介紹泰勒展開式的時候提到過傅立葉級數。