傅立葉級數——這樣「魔法」波形的基本概述與動畫解釋

作者：[遇見數學翻譯小組核心成員] 龍嘯或飯糰, 嚴雲飛，亞麗

讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉(1768 - 1830)給我們留下了上面這句意味深長的名言，以此強烈提醒我們要不斷地把與自然的聯繫作為知識的靈感來源。這句話再恰當不過了，因為無論是從字面上的還是象徵意義來看，傅立葉本人最大的貢獻——傅立葉，都源於他對自然的深入研究。

本文所要講述就是他在數學史上的主要貢獻，這來自於對一個自然問題的解答：一塊金屬板上溫度如何隨著時間的流逝而變化？ 對板子上的任何一點來說，其溫度究竟具體是怎樣改變的？

想要解開這個問題最後的答案卻要回歸到我們最初理解世界的一種長期傳統：通過用與圓相關的項來描述周圍的世界。

自古以來，圓形作為人類所能理解的抽象形狀，再簡單基礎不過。一個圓心和一條固定長度的半徑就能確定它--圓周上的每一點都與圓心完全等距。理解傅立葉級數(和由此的傅立葉變換，以及離散傅立葉變換)的關鍵是我們人類一個古老的欲望，即想用與圓有關的項來表示一切。這篇文章的其餘部分圍繞著這個妙不可言的聯繫，傅立葉觀察的核心就源於下面這個優雅而又引人入勝的認識：從一個圓簡單地旋轉中就可以創造出正弦和餘弦的三角函數。

導言

正如剛剛提到「古老」一詞所暗示的那樣，傅立葉遠非第一個意識到這一點的人。 然而，他是第一個聰明地注意到，無論是正弦還是餘弦這樣簡單的波，都可以通過加起來，從而來完美地複製任何類型的周期函數。更重要的是，這個級數之所以以他的名字命名，是因為他推導出了一種巧妙的方法，對他的發現結果進行了逆向分析操作：傅立葉級數的建立和所需的傅立葉分析是揭示所有收斂於目標函數的正弦和餘弦波所必需的過程。具體來說，這一逆分析包含推導出各獨立圓周旋轉運動的係數（圓的半徑)和頻率(「旋轉速度」），以及用這些圓形運動疊加來模擬任何一般周期函數。

傅立葉級數是與泰勒級數等價的圓和波。假設你不熟悉這一點，傅立葉級數只是一個長而令人畏懼的函數，它能將任何周期函數分解成一個個簡單的正弦和餘弦波。這似乎是一個令人困惑的概念，但幾乎任何函數都可以表示為由旋轉的圓周運動產生的一系列正弦和餘弦波。為了讓您了解這種新觀念有多普遍，請查看下面的動圖示例，僅僅使用一系列疊加的圓周運動，我們就能成功勾勒出一隻展翅小鳥的圖案：

每個旋轉的圓都轉為正弦或餘弦

傅立葉級數的更深含義，在於可以通過傅立葉變換應用於更為一般的非周期函數，長期以來這一直是數學物理、工程和信號處理的主要分析方法之一。傅立葉級數是所有數位訊號處理的關鍵基礎 -- 花一點時間就可以意識到其廣泛性。傅立葉的工作引發了更寬廣的基礎和應用研究，一直發展至今。正如我們將在下文看到的，雖然傅立葉級數最初只用於描述自然界存在的各種波運動中的周期函數，例如光波和聲波，但它的理論推廣到了更廣的場景，例如小波分析和局部三角分析的最新理論所依據的時頻分析。

熱方程之後的研究

1828 年，傅立葉男爵第一次提出了一種觀點，即任何周期函數都可以用一系列正弦和餘弦波來表示；發表在他的論文《Theorie Analytique de la Chaleur》 上，該論文大致翻譯為《熱的分析理論》，傅立葉的工作是對特定的熱方程得出答案的結果。《Panda the Red》優美地講述了這段特殊的旅程，因此，我們主要來看傅立葉熱方程之後的發現。

簡而言之，從熱方程出發，傅立葉將他的發現發展為傅立葉級數；從那時起，傅立葉級數的重要性才有所提高 （儘管這種重要性很大程度上來源於傅立葉變換），特別是在數字時代。從建立如布朗運動等物理學基礎，到布萊克-斯科爾斯方程等金融基礎，再到數字處理等電氣工程基礎，傅立葉的工作在理論和實際應用中都得到了長足的發展。

然而，由於受篇幅限制，我們在這裡主要討論的是傅立葉級數。儘管不經意間提到傅立葉級數隻適用於周期函數，但實際情況卻有點微妙。

狄利克雷條件(Dirichlet Conditions)

首先，必須指出，與傅立葉變換不同，傅立葉級數不能應用於一般函數--它們只能收斂於周期函數。然而，這不是全部，為了保證簡單的正弦和餘弦波的收斂，必須滿足三個具體的條件，稱為 Dirichlet 條件。對於周期長度為2L的周期函數 f(x)，三個條件都必須滿足：

在周期 2L 內，函數 f(x) 連續或只有有限個第一類間斷點；在周期 2L 內，函數 f(x) 的極大值和極小值的數目應是有限個；在周期 2L 內，函數 f(x) 是絕對可積的。上面的三個準則主要是問：「函數 f(x) 是有界變化嗎？」如果 f(x) 在某些長度 2L 上是周期性的，檢查上面所列的每個條件，那麼傅立葉級數保證餘弦和正弦波的一些混合可以用來替換函數 f(x)。 接下來，我們將深入研究傅立葉級數本身，從一個非常粗略的概述開始，直到計算出精確的傅立葉級數。

級數

無窮級數要麼趨於無窮，要麼收斂於一個數，就像無窮級數的表達式（多項式或三角)要麼趨於無窮，要麼收斂到一個函數(或形狀）。相反地，如果我們給定一個形狀，我們可以通過創建一個無窮級數的變化的正弦和餘弦波來近似它的函數。

傅立葉級數是一個簡單的函數，它是通過波和常數的字面求和來描述和求出的。

公式概述

我們先從傅立葉級數更一般的概述開始。下面，下面等式左邊 是我們試圖通過傅立葉級數（方程右邊）近似的目標函數：

「傅立葉分析」只是逆向分析的具體過程，或者是說我們有意從頭開始構造一個周期函數，目標是求解其中的係數 , 及 。 傅立葉級數最常見的符號如上所示。在我們深入研究係數之前，讓我們通過解釋這兩個不同的部分來重新定義上面的內容。

f(x) = Avg. Function Value + Sine/Cosine Waves Series

傅立葉級數的第一部分，包含係數 a0 的第一部分除式就是函數的平均值；更具體地說，它代表了 -L 或 L 之間的淨面積，除以 2L(函數的周期)。

方程的第二部分，用 ∑ 級數符號標記，表示不同餘弦和正弦波的求和，它們應該收斂到目標函數；正如人們所知道的，這兩個三角函數在級數中都取到 n 次。對於這個方程的後半部分，挑戰是求解 an 和 bn。

傅立葉分析

當深入傅立葉分析的時候，我們開始求解目標係數(a0, an 及 bn)，有好消息也有壞消息。好消息是：有一個標準的模式可以導出所有三個係數，甚至還有一些捷徑可以幫助求解，我們將在稍後介紹。壞消息是：對於 a0, an 及 bn 的求解儘管顯得直截了當，但遠不簡單。所有三個係數都通過以下積分求解：

註：給定的三個係數都假定一個 2π 的周期

「求解 a0 - 平均值」

左邊的第一項， a0 有時被稱為「平均值」係數，正是因為這個原因-它只是我們要替代的函數在固定周期內的積分。

「求解 an - 餘弦波的求和」

在我們的級數中，an 是餘弦波的主導係數；我們的目標是算出這個係數在級數中的不同值。

「求解 bn - 正弦波的求和」

相反，bn 是級數中正弦波的主導係數；我們的目標是再次計算這個係數在級數中的不同值。

an 或 bn 本質上是它們各自波的變化「權重」，它們為我們提供了一個近似，即對於任何給定的級數，怎樣通過合理的波的「混合」來達到最佳近似。

捷徑-偶函數和奇函數

值得慶幸的是，大多數傅立葉級數的複雜度在起初都大大降低了；通過分析目標函數 f(x) 的對稱性，無論函數是偶函數還是奇函數，我們通常至少可以一個係數排除出來。讓我們回顧一下，一個函數的奇偶性，是相對於它在原點或 y 軸上的對稱性而言的：

如果 f(-x)=f(x) ，則 f(x) 是偶函數；如果 f(-x)=-f(x) , 則 f(x) 是奇函數。巧用函數奇偶性將極大地簡化求解過程。捷徑的關鍵是在開始傅立葉分析之前，首先檢查 f(x)，即我們近似的函數或形狀，是否是奇函數或偶函數，還是兩者都不是。

如果一個函數是奇函數或偶函數，我們就很幸運了。回憶一下基本的微積分知識，不難發現，在某個固定的周期內對兩個三角函數中的任何一個積分時會發生什麼：

從 -L 到 L 的 cos(x) 的積分為 0；從 -L 到 L 的 sin(x) 的積分也是 0。基於以上兩組事實，現在我們就清楚利用函數的對稱性如何大大降低了傅立葉分析的複雜性；基本上，在大多數情況下，我們會遇到傅立葉係數 a0, an 或者 bn 在積分後變為零的情形。利用奇、偶函數的性質，在不進行具體積分運算的情況下就能夠預測係數為 0，這實際上是一條強大的捷徑。讓我們進一步仔細考察這兩種情況。

偶函數：半程傅立葉餘弦級數

對於 x 的所有值，有 f(-x)=f(x)；因此，偶函數的圖總是關於 y 軸對稱的（也稱為它是鏡像對稱的）。 例如，看看下面函數的圖，f(x)=cos(x)：

f(x)=cos(πx)

顯然，上面是關於 y 軸對稱的。如果一個函數是偶函數，那麼對於 bn，不論 bn 的第 n 項是什麼，求解的積分部分都等於零。因此，我們可以安全地消掉原來級數的 bn 部分，留下一個偶函數的截斷傅立葉級數，稱為半程傅立葉餘弦級數，它看起來如下：

偶函數在其傅立葉展開中只有餘弦項：理解這一點的關鍵是每個傅立葉級數的設置都是從正弦和餘弦函數開始。

「奇函數：半程傅立葉正弦級數」

對於 x 的所有值，如果 f(-x)=-f(x)，則函數 f(x) 被認為是奇函數；因此，奇函數的圖像總是關於原點對稱的。例如，看看下面函數的圖像，f(x)=sin(πx)：

這有點難講，但是上面是關於原點對稱的。如果一個函數是奇函數，那麼包括 an 的級數項的積分，無論是 an 的第 n 項是什麼，都等於零。因此，我們可以安全地消掉原來級數的 an 部分，只留下奇函數的截斷傅立葉級數，稱為半程傅立葉正弦級數。然而，這還沒完，函數還包括額外的信息，能幫助我們消掉一個額外的項：a0。想一想，如果一個函數在原點上是對稱的，那麼這意味著 x 軸以上的面積等於 x 軸以下的面積；這意味著函數的平均值，即我們的 a0 項，也等於零。因此，對於半程傅立葉正弦級數，我們可以安全地消掉 a0 項和餘弦項，如：

這樣最初的幾項現在都被去除了，一個奇函數的傅立葉展開中只有正弦項；顯然，這比我們開始要求的傅立葉級數要簡單的多。

實例

現在我們來看一個實際的傅立葉級數的例子。 對於這個例子，我們要複製一個方波，它從-1 的波谷振蕩到 1 的波峰，周期為 2π；我們將分析從 -π 到 π 的函數圖像。這採取了以下形式（圖片在左邊/下面）。

建立傅立葉級數的第一步不是直接進入這個原始步驟，而是檢查目標函數是否具有對稱性；看這張圖，很明顯，它確實是圍繞原點對稱的。因此，我們使用的函數是奇函數。這一微小的分析大大降低了複雜性和完成我們的傅立葉級數所需的步驟。因為我們知道它是一個奇函數，這意味著我們可以把它看作是一個半程傅立葉正弦級數（如上所述）。通過這個例子，我們開始了我們的實際旅程，基本上是簡單的步驟：

記住我們的目標是求出 bn。

從左到右，f(t) 是我們用傅立葉級數近似的函數。可以看出，我們已經消除了 a0 和 an 項，只剩下一系列的正弦波需要處理，還有餘下這個係數 bn 項需要求出。

這是第一次需要認真思考的地方：右邊的 f(t) 只是我們要近似的形狀/函數的值。在這個特殊的例子中，如上圖所示，函數 f(t) 的值是分段的：從 -π 到 0，f(t)=-1；從 0 到 π，f(t)=1。 因此，如果我們將 bn 拆分為兩個不同的積分，（-π, 0)到(0,π），我們可以簡單地用 -1 或 1 替換 .

接下來，我們嘗試代入 n 一些值來分析上式的模式，這些模式將暗示係數 bn 的收斂性。我們先從寫出 n=1 開始：

上面的計算可以藉助任何一款計算機軟體或者 WolframAlpha 中進行複查。

它告訴我們，對於 的第一個值，我們的係數 收斂到 4/π。我們現在將對 的四個附加值重複這個過程，希望能發現一個模式：

是否有一個清晰的模式？是的。請用 WolframAlpha 或其他的高級計算器再次檢查這些分段積分。從上面可以看出，值得注意的是， 的所有偶數值都收斂到零，而 的所有奇數值收斂到 4/(nπ)。

解出 後，我們現在可以將係數帶回到我們上面設置的半程傅立葉正弦級數中。現在讓我們寫下級數的前幾項：

看起來這有點複雜，然而，它已經非常準確能描述出：右邊的傅立葉級數確實收斂到我們的目標方波。我們可以通過動畫展示來進一步證實這種收斂是如何隨著時間的推移發生的：

隨著我們的傅立葉級數已經被正確地解決，讓我們花一點時間來直觀地確認我們解出來的是什麼。下面的動畫準確地顯示了上面的每一項是如何與一個具有特定半徑和頻率的圓相對應的。在總和中，它畫出了我們預期的方形圖：

每個圓都有不同的半徑和頻率。在上面的 GIF 的第三列中可以觀察到，通過在前一個圓的半徑的末尾附加每個圓，我們的波逐漸接近一個方波。最後檢查一下，當我們接近無窮時，我們將把該級數覆蓋在最開始的方波圖形上：

在傅立葉變換上

傅立葉級數是將周期函數表示為簡單正弦和餘弦波的無窮和的一種方法。從信號處理到近似理論再到偏微分方程，傅立葉級數與物理現象的聯繫是多麼複雜，怎麼說都不為過，任何具有可識別模式的東西都可以用變化的正弦和餘弦波來描述。

約瑟夫·傅立葉，1768年3月21日－1830年5月16日

然而...這並不是故事的結尾。幾十年後的今天，我們的傅立葉級數的範圍與它的繼承者傅立葉變換相比是非常有限的。傅立葉級數用於表示一個離散和周期函數，而傅立葉變換用於表示一般的非周期函數。傅立葉變換本質上是函數的傅立葉級數在周期接近無窮大的極限。它也是所有基於數位技術的核心，對於那些好奇的想要了解我們日常物品本質的人來說，這是我們旅程的下一站。(完)