萊布尼茲法則的妙用:求一些特殊函數的積分,非常巧妙 - 電子通信和...

2021-01-08 電子通信和數學

萊布尼茲積分法則，在數學分析中基本都是一筆帶過，因為好多積分很少會涉及到它，但它的妙用和數學思想在處理一些特殊積分時相當巧妙，正在讀大學的朋友可以了解下，或作為一種數學樂趣讓你回味無窮。

考慮如下積分形式

積分符號下的函數在點（x，α）=（0，0）處不連續，並且函數φ（α）在α= 0處具有不連續性，因為φ（α）接近±π/ 2當α →0，我們得到

當然，這對於除α= 0之外的所有α值都是正確的。可以對其進行積分（相對於α）以求得

積分符號下的微分原理有時可用於評估定積分

現在

x從0到π變化時，我們有

因此

因此，

整合上式的α，我們得到：

通過評估φ（0）得出C 1 = 0 ：

為了以同樣的方式確定C 2，我們需要用φ（α）中大於1的α值代替。這有點不方便。相反，我們用α= 1 /β代替，其中|β| <1.然後，

因此，C 2 = 0，現在φ（α）的定義已完成：

當然，當α=±1時，上述討論將不適用，因為不滿足微分的條件。

在看另一個例子

首先我們計算

由萊布尼茲法則，我們有

另一方面：

將這兩個關係等式得出

以類似的方式得到

然後將兩個結果相加，就得到所求結果

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