積分上限函數與牛頓萊布尼茲公式

2021-03-01 專轉本高等數學

一  積分上限函數

如果函數f(x)在區間[a,b] 上連續，則函數

在區間[a,b]上可導，且它的導數就是f(x) ，即

積分上限函數的幾何意義：

首先，定積分的幾何意義，為如下圖區間[a,b]上的曲邊梯形的面積。

其次，將積分上限b改為變量x，則區間[a,x]上的曲邊梯形的面積就是G(x)這個積分上限函數。

關於積分上限函數的結論：積分上限函數的導數等於被積函數。

如果G(x)的上限或者下限為函數，則G(x)為複合函數，求導方法與複合函數的鏈式法則一致。



求導數時要先將函數轉化為積分上限函數，然後再求導。

二  牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本公式）

如果 f(x) 是[a,b]上的連續函數，並且有 F′(x) = f(x) , 那麼

牛頓-萊布尼茨公式是連接不定積分和定積分的橋梁，通過這個公式我們知道要求定積分，先求出不定積分，再把上下限分別代入計算，並求差。因此求定積分的方法和求不定積分的方法基本一致。


騰訊視頻網址，有例題的詳細解答

http://v.qq.com/vplus/75f73b48b535737d6f356522325b0902

如果你覺得有收穫，點個讚吧！或者點個「在看」，讓更多人看到！

回復「資料」，即可獲得相應的學習資料！

相關焦點

  • 牛頓-萊布尼茲公式居然失效了?!!
    牛頓-萊布尼茲公式將複雜的積分運算轉換為簡單高效且安全無毒的代數運算，實在是妙不可言！！！
  • 你知道「二重積分」的牛頓-萊布尼茲公式嗎?
    我們都知道牛頓-萊布尼茲的公式，關於這方面的各類文章資料可以說數不勝數，多如牛毛，我們不在此作任何贅述但對於二重積分的牛頓-萊布尼茲的公式卻鮮為人知，屈指可數，這是本篇的重點提前告知我們的小夥伴們，二重積分的牛頓
  • 微積分中偉大的「萊布尼茲積分法則」
    在微積分中，萊布尼茲關於積分符號的規則以戈特弗裡德·萊布尼茲命名，我們來研究如下形式 的積分如下圖此積分的導數可表示為，這個就是萊布尼茲法則的一般形式兩個積分的差等於該差的積分，並且1 / h是一個常數，所以則我們獲得萊布尼茲規則的特殊形式對於一般形式的證明其中b是α的函數，增量是Δ ，α增加Δα。
  • 一元函數積分學考點(10):變限積分函數
    1.理解原函數與不定積分的概念及其關係，理解原函數存在定理，掌握不定積分的性質。　　2.熟記基本不定積分公式。
  • 談談如何解決沒有初等原函數的定積分
    牛頓-萊布尼茲公式告訴了我們求積分的方法，但不是所有的函數都是可積的，其中蘇聯數學家切比雪夫在這方面做了深入的研究，例如像sinx/x和（1+x^4）^1/2就沒有初等表達式（或稱之為反導數），這不僅意味著不能對sinx/x和（1+x^4）^1/2應用牛頓-萊布尼茲公式，而是意味著根本不存在這樣的初等表達式
  • 【數學】萊布尼茲法則
    萊布尼茲（Leibniz），德國哲學家、數學家。涉及的領域及法學、力學、光學、語言學等40多個範疇，被譽為十七世紀的亞里斯多德。和牛頓先後獨立發明了微積分。他本人是一名律師，經常往返於各大城鎮，他許多的公式都是在顛簸的馬車上完成的。公元1646年7月1日，萊布尼茨出生於德國東部萊比錫的一個書香之家，父親弗裡德希·萊布尼茨是萊比錫大學的道德哲學教授，母親凱薩琳娜·施馬克出身於教授家庭，虔信路德新教。不幸的是，父親在他6歲時去世，卻給他留下了豐富藏書，而他的目前則擔負起了對他的幼年教育。
  • 牛頓與萊布尼茲的巨人之爭
    牛頓與萊布尼茲的巨人之爭 2001年，備受期待的電影《美麗心靈》上映，影片以諾貝爾經濟學獎數學家約翰·納什的生平經歷為基礎，講述了他患有精神分裂症但卻在博弈論和微分幾何學領域取得驕人成績的勵志故事。 影片當中有這樣一個情節： 教室裡，納什教授在給二十幾個學生上課。
  • 2016年數學考研大綱解析:一元函數積分學
    1、理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。 　　2、掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。 　　3、會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。 　　4、理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式。 　　5、了解反常積分的概念，會計算反常積分。
  • 高等數學入門——計算乘積函數高階導數的萊布尼茲公式
    上一節中我們推導了一些常見初等函數的n階導數公式，並在末尾提到了如何計算兩個函數之和的高階導數，但兩個函數之積的高階導數就不是那麼容易計算的了，本節我們來具體介紹計算乘積函數高階導數的萊布尼茲公式。（由於公式較多，故正文採用圖片形式給出。）
  • 萊布尼茲法則的妙用:求一些特殊函數的積分,非常巧妙 - 電子通信和...
    萊布尼茲積分法則，在數學分析中基本都是一筆帶過，因為好多積分很少會涉及到它，但它的妙用和數學思想在處理一些特殊積分時相當巧妙，正在讀大學的朋友可以了解下，或作為一種數學樂趣讓你回味無窮。考慮如下積分形式積分符號下的函數在點（x，α）=（0，0）處不連續，並且函數φ（α）在α= 0處具有不連續性，因為φ（α）接近±π/ 2當α →0，我們得到當然，這對於除α= 0之外的所有α值都是正確的。
  • 將微積分基本定理中的牛頓-萊布尼茲公式寫成散度定理的形式
    我們知道，閉合曲線下的格林公式，和封閉曲面下的高斯散度定理，它是許多自然科學最基本的定理和基石。對於這些定理的討論有很多文章和解答，本篇我們不再討論，而是將其延伸，都知道一元微積分最基本的公式，即牛頓-萊布尼茲公式，如下圖，如果將其用散度表示出來，是什麼樣式，你想過嗎？
  • 持續學習:數學分析之定積分
    前面不定積分是求原函數，而今天的定積分是求和式極限，將兩者關聯起來的是牛頓-萊布尼茲公式。定積分常用於求平面圖形的面積，變速直線運動路程和變力做的功。可積的必要條件定理：f(x）在[a,b]上可積，則函數在該區間必有界定積分線性性質定理，與不定積分很像：設f(x) ,g(x)在I上都在[a,b]上可積，α，β為兩任意實常數，則αf(x)+βg(x)在區間上也可積 且∫[αf(x)+βg(x)]dx =α∫f(x)dx+β∫g(x)dx |積分上限b,積分下限a可積的充要條件定理：f(x）在[a,b]上可積 <==>對任意c∈(a,b
  • 微分意義,積分意義,牛頓-萊布尼茨公式
    簡單的理解就是化曲線為直線；無限的分割時間，化變速為恆速；還有很多物理上的公式，壓強=pgh，牛頓定律F=ma，等等，都有橫變因素在幹擾，但是以微分之後就是定的了。這裡極限是基礎，無窮的思想。微積分的意義在於利用直線的線性變化量來代替非線性函數的變化量，從而可以求得精確的曲頂梯形的面積。但是微積分的意義遠不止於此，無數自然界的現象都可以通過一定的方法建立微分方程組來描述之。從純粹的數學意義上而言，微積分利用線性手段解決非線性問題的思路乃是空前絕後的；什麼是微積分？
  • 聽宇哥講段子|牛頓、萊布尼茲的愛恨情仇
    牛頓、萊布尼茲，作為高等數學界的兩位神一般的人物。
  • 數學天才:萊布尼茲
    一、生平事跡　　萊布尼茲出生於德國東部萊比錫的一個書香之家，父親是萊比錫大學的道德哲學教授，母親出生在一個教授家庭。萊布尼茲的父親在他年僅6歲時便去世了，給他留下了豐富的藏書。萊布尼茲因此得以廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學者的著作，由此而獲得了堅實的文化功底和明確的學術目標。
  • 積分學的進階之路——積分向多元函數的推廣
    多元函數積分學是定積分概念的推廣，包括二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。它們所解決的問題的類型不同，但解決問題的思想和方法是一致的，都是以「分割、近似、求和、取極限」為其基本思想，它們的計算最終都歸結為定積分的計算。
  • 用泰勒公式證明:為什麼萊布尼茲法則和牛頓二項式如此相似?
    二項式展開：一般萊布尼茲規則（用作導數乘積規則的推廣）：這兩個公式都可以通過簡單的歸納得到；牛頓二項式也有一個組合證明（令人吃驚的是，這些公式是如何相似的；它們之間是否有可能存在聯繫？f（x+h）的泰勒級數展開式為：g（x+h）的泰勒級數展開式f（x+h）g（x+h）的泰勒級數展開如下萊布尼茲規則為：這是為什麼呢？
  • 牛頓-萊布尼茨公式 - 微積分大廈基石之一
    牛頓-萊布尼茨公式，通常也被稱為微積分基本定理。對於牛頓-萊布尼茨公式是這樣定義的：把f(x)當做一個導函數，對這個導函數進行定積分，就等於這個的導函數的原函數在x=b和x=a處函數值的差。用通俗的話講，打個比方：將牛頓-萊布尼茨公式看作母雞孵雞蛋。
  • 數學原理之牛頓萊布尼茨公式
    英國科學家牛頓，一生集，物理，天文，數學大成，跟德國科學家萊布尼茨幾乎同時發現了微積分，因此，微積分的基本公式又叫牛頓萊布尼茨公式。即，定積分的值，等於其原函數在上，下限處的值的差。我們知道，一個函數的定積分，是由其自變量的增量趨於0時，與其原函數導數的積的和的極限。也就是說，所有的應變量加起來趨於某一個常數c，這個所有指的是自變量的增量無窮小時。對應的[a,b]區間上所有的f(x)，有無窮多個。這樣以來，定積分的形式，又可以以和的形式表示。
  • 一次不定積分概念課教學交流
    國內無論是面向數學專業的《數學分析》教材還是面向非數學專業的《高等數學》教材在一元函數積分理論部分大多是把定積分安排在不定積分之後