一次不定積分概念課教學交流
2021-03-01 曹廣福的數學茶館個人覺得，即使將不定積分放在定積分之前講授，也應該說清楚來龍去脈，雖然在後面的定積分部分通過牛頓-萊布尼茲公式也會認識到原函數與定積分的關係，但一個概念是如何產生的，總應該知其所以然的好。這就給不定積分的概念教學帶來了一個兩難的問題，如果把定積分的那套想法拿過來，後面的定積分概念就成了多餘，如果不按那套定積分的思路走，如何說清楚不定積分的來龍去脈還真需要費點周折。這節課嘗試著在不影響後續定積分概念教學的前提下如何說清楚不定積分的來龍去脈。以下是為這節課設計的幾個問題，可惜與同學們第一次合作，彼此都缺少一定的了解，或許問題設計得更明確一點討論的氣氛會更活躍一些，總的說來，同學們的表現還是不錯的，沒引導好的是我這個老師。由於涉及符號與公式，有些直接從PPT拷貝過來，在word文檔裡不太好看。有些符號還看不到了，將就著看意思吧。
一、溫故而知新
問題1導數與微分因什麼而產生？
1、切線問題、光學問題
2、最大、最小值問題
問題2導數的基本思想是什麼？
問題3 伽利略在實驗室拋鐵球是為了測量什麼？
(1)落地時間？
(2)速度？
(3)加速度？
(4)鐵球的高度？
問題5如何求拋物線和與直線所圍圖形的面積？
阿基米德的算法
二、新知並非空中樓閣-讓變化率飛一會
問題7如何將微分的思想運用到問題6的討論？
三、新發現-原函數與不定積分
問題8 通過伽利略的重力加速度，阿基米德的拋物線面積，我們發現了什麼？
問題9原函數唯一嗎？
問題10如果是原函數，F1與F2之間一定只差一個常數嗎？我們只需要找出一個原函數還是需要考慮所有的原函數？為什麼？
通過上面的討論，我們獲得了兩個信息：
1、原函數
2、一個函數的任意兩個原函數之間僅差一個常數，根據問題不同的初始條件，可能需要確定不同的常數，所以，這些常數一個不能少！
問題11把函數f(x)的所有原函數放在一起構成一個集合，如何給這個集合取一個合適的名稱？
從原函數的定義可以看出，求函數的原函數與求微分（導數）是反過來的運算，微分者，化整為零也，它的反義詞自然是積零為整，所以我們把求原函數的過程稱為積分。由於原函數有很多，常數是不確定的，所以把原函數的全體稱為函數f(x)的不定積分，記作
如果已知f(x)的一個原函數F(x), 則
其中C表示任意常數。
問題12根據導數的性質，能猜出不定積分有些什麼性質嗎？這些性質的價值何在？
基本積分公式表與例子略。
相關焦點
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數研課堂|不定積分的計算
分部積分法求解某些不定積分時,經過多次分部積分可以得到循環的式子,參考下面的例子:得到含三角函數/反三角函數的不定積分(1)求(6)被積函數含有反三角函數,法一是分部積分法,法二是變量替換,令新變量等於反三角函數,最後化為有理函數積分. -
python快速求解不定積分和定積分
conda install sympy接下來，我們將介紹利用第三方庫sympy來完成積分的計算。python求解不定積分接下來，我們將介紹上述的不定積分的求解。，定積分和不定積分我們都需要用到函數integrate，這個函數的用法非常的簡單，完全可以自己領悟。 -
揭開原函數、不定積分、定積分的神秘面紗!
原函數、不定積分、定積分從定義上看似不難理解，但是其中存在很多的難點和坑，大家都知曉嗎？1.原函數、不定積分、定積分的含義工欲善其事，必先利其器。欲徹底掌握其中的難點，首先要清楚原函數、不定積分、定積分的含義，通俗點講，原函數、不定積分、定積分的含義如下：原函數：如果函數F(x)在定義域內可導，且導函數為f(x)，則稱F(x)為f(x)的一個原函數。不定積分：若函數f(x)存在原函數，則f(x)所有原函數的集合稱為不定積分。換句話說，不定積分表示函數f(x)所有的原函數。 -
詳解有理函數不定積分的通用解法
有理函數不定積分的通用解法雖然複雜、不易理解，但幸運的是，在考試中基本不需要用到有理函數不定積分的通用解法。儘管如此，理解通用解法，對提升解題能力、理解能力都是有益無害。1. 什麼是有理函數不定積分？當被積函數的分子或分母均為自變量的n次多項式時，此時的不定積分為有理函數不定積分。下方左圖是有理函數不定積分的三個例子，下方右圖為非有理函數不定積分的例子。2. 有理函數的四種基本類型積分任何一個有理函數的不定積分，均可化成以下四種基本類型。上文給出的前兩個有理函數不定積分可通過如下過程轉換為基本類型。 -
詳解萬能公式在不定積分中的應用
在求不定積分中，對於只包含正弦、餘弦、正切、餘切，而不包含其他初等函數的被積函數，可以用萬能公式，化三角函數為有理函數，進而求解不定積分。1. 初用萬能公式對習題1直接套用如下萬能公式。事實上，在用萬能公式時，謹記一點：萬能公式的目的是將三角函數的不定積分轉化為低次的、不複雜的有理函數不定積分。如果通過萬能公式的轉化，得出的新的不定積分更複雜，則要重新觀察原不定積分：1）是否可以先拆分，然後再用萬能公式；2）是否該用其他方法。通過再次觀察被積函數，可以將原不定積分拆分成兩個部分，其中一個部分直接可求出原函數，另一個部分可通過萬能公式進行求解。 -
不定積分小技巧
歷經一個寒假的騷浪，相信不定積分的各種套路該忘的也忘了不少。 -
這麼變態的不定積分原來還可以這樣解
下面的不定積分就是小編上期留下來的題目：1.不推薦的萬能公式法儘管小編從來沒用過萬能公式法，但是小編在這裡還是先用一次萬能公式法來解答上面這道題，這是因為在三角替換中，有一些非常值得大家注意的細節，小編藉此機會把這些容易被忽視的細節拎出來。 -
不定積分分部積分法需要移項.
#不定積分#求導驗證能夠提高湊微分的計算能力先寫別問唉。密室逃脫是人為製造閒情逸緻，不必站在道德制高點指指點點！#HLWRC高數#最猛烈分部積分法需要移項，#數字帝國# 對數是logarithm的LNX，我指點方言才有造詣出題，#高數答疑#mathmagic入門基礎推陳出新。。。#不定積分#求導驗證能夠提高湊微分的計算能力先寫別問唉。 -
數學分析第八章《不定積分》備考指南
問君能有幾多愁，不定積分不會求！這是整個第八章比較慘澹的基調！弱弱問君，什麼叫不定積分？結合上述兩個定義不難看出，不定積分實際是求導的逆運算，即求被積分函數的原函數。截止到目前，同學們對計算應該有個明確地認識，計算不僅僅拘泥於中小學的關於數的加減乘除運算，還包括求極限，導數，不定積分，定積分，反常積分，數項級數的和，冪級數的和函數，重積分，線面積分，行列式，逆矩陣，特徵值，特徵向量，Jordan標準型等等各種高檔次的運算！所有這些運算中，最能考察一個人的計算能力，非不定積分莫屬！ -
談論不定積分及其求法
一、原函數不定積分的概念原函數的定義： 如果區間I上，可導函數F(x)的導函數為f'(x),即對任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx那麼函數F(x)就稱為f(x)（或 f(x) dx）在區間 I 上的一個原函數。 -
Matlab:不定積分和定積分
matlab中使用int()來計算一個積分。不定積分首先，通過符號變量創建一個符號函數，然後調用積分命令來計算函數的積分，示例如下：注意：matlab中計算的不定積分結果中沒有寫上常數C，讀者需要自己在使用的時候記得加上常數部分。 -
如何求形如∫dx/(√x+n√x)的不定積分
本文主要內容：積分函數的分母為x的二次根式和x的n次根式的和，主要方法是換元法，通式計算及舉例如下。1.當n為奇數時的不定積分通式1.1舉例當n=3時的不定積分1.2舉例當n=5時的不定積分可見，n為奇數時，函數可積，且n越大，不定積分結果中函數類型越多越複雜。 -
含cscx與secx的不定積分
原來是有個不定積分做不出來，問我可不可以教一教他，我說可以。我讓他上下乘以cosx，化為有理函數的積分。他不同意，說做不出來，我說可以做出來，就是有些繁瑣，他說他再試試。化簡到下面四個簡單的不定積分，我們的問題也就徹底解決了。 -
如何快且準地求解不定積分
不定積分的求解是高數較難的部分，本文將通過兩道習題的講解，對不定積分的求解思路進行初步的闡述。1. 有理化+三角函數換元第一步，觀察被積函數形式，發現1+x和1-x能夠湊成平方差公式，優先考慮有理化。由於分子含獨立部分x，因此應對分子進行有理化，有理化過程如下所示：第二步，觀察有理化後函數形式，被積函數可以拆分成兩部分，且其中一部分很容易就能得出原函數，此時應考慮拆分，拆分過程如下所示：第三步，觀察積分部分，若對整個分母採取換元法，最後仍然無法將根號划去。此時，應考慮正弦函數換元法。在習題1的解答過程中，三角函數換元極其關鍵。 -
高等數學入門——利用基本積分公式和性質計算不定積分的方法和典型例題
上一節我們介紹了基本積分公式以及不定積分的兩個基本性質，由此可以計算一些簡單的不定積分，本節我們來介紹一些相關的典型例題及習題。不定積分的計算通常技巧性較強，需要讀者多總結方法，多做練習。（由於公式較多，故正文採用圖片形式給出。） -
一元函數積分學考點(6):有理函數的不定積分
1.理解原函數與不定積分的概念及其關係，理解原函數存在定理，掌握不定積分的性質。 2.熟記基本不定積分公式。 -
高數:不定積分的分部積分法使用總結與參考課件
● 不定積分的分部積分法基於兩個函數的乘積的求導運算法則，即● 不定積分的分部積分法的關鍵是構造v.基本思路是將被積函數f(x)拆分成兩個函數的乘積，即f(x)=g(x)h(x)，並且其中一個函數的原函數好求，如h(x)的原函數為H(x)，則可以直接令u=g(x)，H(x)=v，則藉助分部積分公式可以將積分轉換為H(x)g』(x)的積分計算，如果該積分比原來的不定積分計算容易計算，則對f(x)的拆分是一個有效拆分，否則需要重新考慮其它方法 -
最奔放的不定積分分部積分法需要移項.
#不定積分#魔鬼和天使都逃不過高數的手掌心，數學mathmagiclite(求導驗證)唯有先寫別問才得以讓堆積成山的難題化險為夷。最奔放的分部積分法需要移項，反對冪三指(反雙曲正弦函數，對數LNX不是inx)，arctanx正切菜tanx...湖南農村方言迴光返照。 http://t.cn/A6qI9VJy 。。微博@海離薇。。。。 -
《不定積分的分部積分法》內容小結與參考課件節選
一、分部積分法的基本依據不定積分的分部積分法基於兩個函數的乘積的求導運算法則，即二、分部積分法的基本思路不定積分的分部積分法的關鍵是構造v. 基本思路：是將被積函數f(x)拆分成兩個函數的乘積，即f(x)=g(x)h(x)，並且其中一個函數的原函數好求，如h(x)的原函數H(x)，則可以直接令u=g(x)，H(x)=v，則藉助分部積分公式可以將積分轉換為H(x)g』(x)的積分計算，如果該積分比原來的不定積分計算容易計算 -
不定積分分部積分法,三角函數眾神歸位.@海離薇.
#不定積分#高等數學高數微積分集思廣益，出處是貼吧大神@愛佛費克斯+智力超群體育生：阿彝，三角函數∫(x^2)/((cosx+xsinx)(xcosx-sinx))dx；我講方言用分部積分法，大刀闊斧燒香拜佛。#轉發微博關注我就屏蔽我吧# @海離薇。 第一題是∫(x+sinxcosx)/(cosx-xsinx)^2dx。第二題是∫(x^2)/(cosx+xsinx)²dx。