原函數、不定積分、定積分從定義上看似不難理解，但是其中存在很多的難點和坑，大家都知曉嗎？
1.原函數、不定積分、定積分的含義
工欲善其事，必先利其器。欲徹底掌握其中的難點，首先要清楚原函數、不定積分、定積分的含義，通俗點講，原函數、不定積分、定積分的含義如下：
原函數：如果函數F(x)在定義域內可導，且導函數為f(x)，則稱F(x)為f(x)的一個原函數。
不定積分：若函數f(x)存在原函數，則f(x)所有原函數的集合稱為不定積分。換句話說，不定積分表示函數f(x)所有的原函數。
定積分：描述的是在指定範圍內，曲線、橫軸與兩條端點直線所圍成圖形的面積，見圖1陰影部分。在橫軸上，面積為正；在橫軸下，面積為負。注意：本文不考慮反常積分。
2.什麼情況下存在原函數？
給定函數F(x)，很容易就能判斷出F(x)是否可導，如果可導，導函數f(x)亦不難求出。但是逆過程卻不那麼簡單：即給定函數f(x)，如何判斷f(x)存在原函數，若存在原函數，怎樣求原函數。限於篇幅，小編在本文僅說明如何判斷函數是否存在原函數。
2.1連續函數必存在原函數
這條原函數存在定理很好記，小編在下面給出證明，即為什麼連續函數必存在原函數？小編由衷提醒：學習時，多問自己個為什麼，並努力尋求答案，求知慾上去了，興趣上去了，理想就近了一大步。
只需證明如下關係式，則可說明連續函數必存在原函數：
下面是詳細的證明過程：
2.2若函數存在第一類間斷點，必不存在原函數
若函數存在第一類間斷點，只要假設x=a是其中一個第一類間斷點，並令t=a，仿照2.1證明過程，不難得出函數F(x)在x=t點處左、右導數均存在但不相等，因此F(x)在x=t處不可導。所以，函數若存在第一類間斷點，必不存在原函數。但是，若函數存在第二類間斷點，是否存在原函數則需另行判斷。
3.不定積分與原函數的關係
從前文關於不定積分和原函數的含義中可以看出，只要函數f(x)存在一個原函數，則函數f(x)的不定積分必存在，因此，一個函數不定積分是否存在可以直接用原函數存在定理直接進行判斷。假設F(x)是f(x)的一個原函數，則f(x)的全體原函數即不定積分表示如下：
從上可以看出，若函數f(x)存在原函數，則f(x)所有原函數兩兩間僅差一個常數。
4.定積分與不定積分的區別
雖然定積分、不定積分都有「積分」二字，看上去像姊妹，但是差別非常明顯。討論定積分時，有兩個前提：一是閉區間，即[a,b]；二是被積函數有界。在滿足這兩個前提條件下，滿足下面任意條件之一函數的定積分必存在：
· f(x)在[a,b]上是連續函數；
· f(x)在[a,b]上只有有限個間斷點；
· f(x)在[a,b]上單調。
拿上述第二個條件來說，如果函數在閉區間上有界且只有有限個間斷點（包括第二類間斷點），定積分存在，但是對於不定積分來說，只要是存在第一類間斷點，函數的不定積分必不存在。這是不定積分和定積分的一個重要區別。
對於條件三，證明不易，小編在這告訴大家一個抽象卻很實用的記憶方法：首先一定要知道，定積分描述的是如圖1中所示的陰影部分面積。那麼當f(x)在[a,b]上單調時，可以預想到的是，隨著x從點a逐漸移動到b的過程中，由f(x)、橫軸、x=a、x=b圍成的圖形的面積S必然也是單調（要麼遞增，要麼遞減）且連續的，並且因為f(x)在[a,b]上有界，因此S必是有限值，不可能為無窮大——面積S的大小不可能超過區域寬度(b-a)與最大函數值的乘積。所以，當f(x)在[a,b]上單調時，定積分必存在。