微積分中的:萊布尼茲法則的幾何意義

2021-01-08 電子通信和數學

微積分中的定理很多，如圖常見的的定理法則就是萊布尼茲發現的，所以又稱萊布尼茲法則

它顯示一張寬度f(t)變動的地毯，它從左端捲起，而在同一時刻x，在右端鋪開，（這裡時間是x，而非t），在時刻x，地板從u（x）到v（x）被覆蓋，地毯捲起的速率du/dx不必跟地毯鋪開的速率dv/dx相同，在任何給定的時刻x，地毯覆蓋的面積就是。

地毯左邊捲起，右邊鋪開圖示

被覆蓋的面積改變的速率是多少呢？在時刻x，A(x)增加的速率是鋪開的地毯的寬度f(v(x))乘以地毯鋪開的速率dv/dx，即A(x)增加的速率是

在同一時刻，A減少的速率是

這是捲起的一端的寬度與速率du/dx的乘積，A的淨變化率是

這就是萊布尼茲法則

以上是幾何上的解釋，為了證明這個法則，則存在如下關係等式

兩端對x微分，就給出我們要的等式。

以上就對萊布尼茲法則的簡要敘述和幾何意義上的解釋

相關焦點

  • 微積分中偉大的「萊布尼茲積分法則」
    在微積分中，萊布尼茲關於積分符號的規則以戈特弗裡德·萊布尼茲命名，我們來研究如下形式 的積分如下圖此積分的導數可表示為，這個就是萊布尼茲法則的一般形式請注意，如果 a(x)和 b(x)是常數，而不是變量x，我們得到一個萊布尼茲規則的特例：因此，在某些條件下，可以互換積分和偏微分算子。
  • 【數學】萊布尼茲法則
    萊布尼茲（Leibniz），德國哲學家、數學家。涉及的領域及法學、力學、光學、語言學等40多個範疇，被譽為十七世紀的亞里斯多德。和牛頓先後獨立發明了微積分。這樣的級數叫做交錯級數，關於交錯級數有一個收斂判別法則——萊布尼茲判別法，內容如下：
  • 微積分學習技巧-結合幾何意義
    因為在學習微積分之前，必須知道微積分就是一個純代數的學科，也不是初中學習過的純幾何學科。微積分的出現和發展都是基於代數和幾何相結合的數學中最重要的一個部分，解析幾何發展出來的。簡單來說，微分和積分都有其幾何意義，他們能直觀反映到平面直角坐標系或者立體直角坐標系中；同樣通過代數的計算，又可以得到這些幾何意義的重要數值。
  • 微積分是誰發明的?牛頓與萊布尼茲的巨人之爭
    電影中納什用責備的眼神看著阿麗莎，而阿麗莎卻對窗外的工人說道：「打擾一下，我們有點小小的問題，關上窗戶，這裡會很熱；開著，卻又太吵。我想能不能請你們先修別的地方，大約45分鐘就好了。」正在幹活的工人愉快地答應了。看罷，納什教授一邊微笑，一邊評論她的做法似地對同學們說：「你們會發現在多變量的微積分中，往往一個難題會有多種解答。」 正如納什教授口中的描述，「微積分」是一種變量的數學。
  • 將微積分基本定理中的牛頓-萊布尼茲公式寫成散度定理的形式
    對於這些定理的討論有很多文章和解答，本篇我們不再討論，而是將其延伸，都知道一元微積分最基本的公式，即牛頓-萊布尼茲公式，如下圖，如果將其用散度表示出來，是什麼樣式，你想過嗎？如果我們令在整個[a,b ]上F=f(x)i，則df/dx=▽*F,若再定義對[a,b ]邊界的單位外法向量n為在點b上是i，在點a是-i就得到F穿出區間[a,b ]邊界的向外的總流量那微積分基本定理：麼牛頓-萊布尼茲公式就可以寫成
  • 聽宇哥講段子|牛頓、萊布尼茲的愛恨情仇
    最近深受微積分的折磨，早就想找牛頓和萊布尼茨談談人生了！好！既然這樣，就讓跟著小編的節奏，回到遙遠的17世紀，看看我們的好朋友「微積分」是怎樣一步一步來到我們身邊的~眾所周知，牛頓終生未婚，萊布尼茲後半生也沒有結婚，這兩位大神在一起會擦出什麼樣的火花？歡迎走進本期宇哥講堂。
  • 數學天才:萊布尼茲
    一、生平事跡　　萊布尼茲出生於德國東部萊比錫的一個書香之家，父親是萊比錫大學的道德哲學教授，母親出生在一個教授家庭。萊布尼茲的父親在他年僅6歲時便去世了，給他留下了豐富的藏書。萊布尼茲因此得以廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學者的著作，由此而獲得了堅實的文化功底和明確的學術目標。
  • 積分上限函數與牛頓萊布尼茲公式
    積分上限函數的幾何意義：首先，定積分的幾何意義，為如下圖區間[a,b]上的曲邊梯形的面積。其次，將積分上限b改為變量x，則區間[a,x]上的曲邊梯形的面積就是G(x)這個積分上限函數。求導數時要先將函數轉化為積分上限函數，然後再求導。
  • 微積分的發現是人類精神的最高勝利
    這些問題直到牛頓和萊布尼茲建立微積分才從根本上得到了解決。求積問題是促使微積分產生的主要因素之一。在積分思想發展的過程中，有一批偉大的數學家為此做出了傑出的貢獻。古希臘時代偉大的數學家、力學家阿基米德，我國古代著名數學家劉徽、祖衝之父子等為積分思想的形成和發展做出了重要的貢獻。
  • 牛頓-萊布尼茲公式居然失效了?!!
    因此上述解法是錯誤的，難道是牛頓-萊布尼茲公式失效了嗎？這顯然不可能！那麼，問題到底出在哪裡呢？讓我們一起來看一下，《高等數學（同濟七版）》240頁的微積分基本定理.定理(微積分基本定理)  如果函數 F(x)是連續函數 f(x)在區間 [a，b]上的一個原函數，那麼
  • 人類究竟需要什麼樣的微積分原理
    Wiener,1894—1964)在他1948年出版的《控制論》書中 指出:「在上一世紀，也許沒有萊布尼茲這樣的人，但還有一個高斯、 一個法拉地、一個達爾文。今天沒有幾個學者不加任何限制而自稱為數學家，或者物理學家，或者生物學家。一個人可以是一個拓撲學家，或者一個聲學家，或者一個甲蟲學家。
  • 教學研討|1.6 微積分基本定理
    本節課是學生學習了導數和定積分這兩個概念後的學習，學生已經理解了定積分的定義，能夠說出定積分的幾何意義，物理意義，並解決這類問題的簡單應用,能利用定義求解定積分.它不僅揭示了導數和定積分之間的內在聯繫，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為後面的學習奠定了基礎。
  • 先要搞明白導數公式、運算法則及幾何意義
    隨著高考改革的不斷深化，高考中對於導數的概念、計算及其幾何意義的考查也上升到了解導數的實際背景、概念，掌握瞬時變化率的計算以及導數的幾何意義計算；以及通過研究函數的圖象從動態的角度去理解導數的幾何意義；然後根據圖象體會原函數與導函數之間的關係，同時要求能夠求解一些特定曲線在指定位置的切線方程等相關知識的考察，本文將進行簡單的複習，希望能夠讓學生和老師有所感悟，
  • 導數的定義及其幾何意義、與連續性的關係以及函數的求導法則
    大家好，我是專升本數學學霸，這次我們來討導數的定義及其幾何意義、與連續性的關係以及函數的求導法則。那你知道導數的定義及其幾何意義、與連續性的關係以及函數的求導法則呢？沒關係，學霸來幫你來了。(x)在點x0的某個領域內有定義，當自變量x在x0處取得增量△x（點x0+△x仍在該鄰域內）時，相應地，因變量取得增量 △y=f(x0+△x)-f(x0)；如果 △y與△x之比當△x→0時的極限存在，那麼稱函數y=f(x)在點x0處可導，並稱這個極限為函數y=f(x)的在點x0處可導，並稱這個極限為函數y=f(x)在點x0處的導數，記為f'(x0),即也可記住二、導數的幾何意義
  • 人類為何要發明微積分?是為了解決什麼問題?
    微積分是順應時代的發展，經過很多數學家積累並總結起來的一套數學運算系統，目的是為了解決科學模型中的變量求解問題。
  • 一部化繁為簡的微積分讀物
    《微積分快餐》，林群著，科學出版社2009年8月出版，定價：25.00元 □姚景齊 17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茲建立了微積分學，它的標誌是到了19世紀，柯西和外爾斯特拉斯將微積分學建立在極限的理論之上，又有了戴德金和康託所建立的實數理論，使極限理論有了鞏固的基礎，這才把微積分學嚴密化了。但這時距牛頓、萊布尼茲他們已經過去200年了。 這就是數學！它抽象、嚴謹，在邏輯推理上無懈可擊。無怪西方人在談論某件事時會說：「It’s mathematics!」（這是數學！）
  • 「微積分」到底有多重要?輝煌的人類近代文明的序幕由此開啟
    而且組成「微積分」的「微分與積分」也是看起來相距很遠，微分學的核心問題是「切線問題」，而積分學的核心問題則是「求積問題」 。「微積分」唯一共同的基礎是「無窮小量」，這也是「微積分」的另外一個名字「無窮小分析」的由來，也是「現代分析學」的名稱的淵源所在。1736年，牛頓出版了《流數術和無窮級數》，它在這本書中提出的「微積分」還叫做「流數術」，其中最為核心的「導數」還叫做「流數」。
  • 萊布尼茲法則的妙用:求一些特殊函數的積分,非常巧妙 - 電子通信和...
    萊布尼茲積分法則，在數學分析中基本都是一筆帶過，因為好多積分很少會涉及到它，但它的妙用和數學思想在處理一些特殊積分時相當巧妙，正在讀大學的朋友可以了解下，或作為一種數學樂趣讓你回味無窮。可以對其進行積分（相對於α）以求得積分符號下的微分原理有時可用於評估定積分現在x從0到π變化時，我們有因此因此，整合上式的α，我們得到：通過評估φ（0）得出C 1 = 0 ：為了以同樣的方式確定C 2，我們需要用φ（α）中大於1的α值代替。這有點不方便。
  • 洛必達法則背後的故事
    我們在學習高等數學求極限的內容時，洛必達法則幾乎是必學的。但是大家可能不知道，洛必達法則的提出者並不是洛必達本人，而是他的老師伯努利。
  • 大師寫的行雲流水的微積分教材:《微積分及其應用》
    《微積分及其應用（中譯本）》與拉克斯的另一著名教材《線性代數及其應用》簡明清晰、行雲流水的風格一致，通過引入許多背景自然的應用實例，兩位作者致力於引導讀者對微積分這一重要的基礎課題獲得理解。《微積分及其應用（中譯本）》末尾還提供了部分習題的答案。