大家好，我是專升本數學學霸，這次我們來討導數的定義及其幾何意義、與連續性的關係以及函數的求導法則。那你知道導數的定義及其幾何意義、與連續性的關係以及函數的求導法則呢？沒關係，學霸來幫你來了。
談論導數之前，我們先看看兩個例子：
直線運動的速度①取從時刻 t0到t這樣一個時間價格，在這段時間內，質點從為止S0=f(t0)移動到s=f(t); (s-s0)/t-t0=f(t)-f(t0)/t-t0,質點的平均速度。②瞬時速度v=lim ( (f(t) )-(f(t0) )/(t-t0) ) (t→t0)切線問題設有曲線C及C上的一點M，在點M外另取C上一點N，作割線MN。當點N沿曲線C趨於點M是，如果各項MN繞點M旋轉而趨於極限為止MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的的切線。
tan θ=（y-y0）/(x-x0)=(f(x)-f(x0))/(x-x0)
斜率k=lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)（x→x0）
一、導數的定義
設函數 y=f(x)在點x0的某個領域內有定義，當自變量x在x0處取得增量△x（點x0+△x仍在該鄰域內）時，相應地，因變量取得增量 △y=f(x0+△x)-f(x0)；如果 △y與△x之比當△x→0時的極限存在，那麼稱函數y=f(x)在點x0處可導，並稱這個極限為函數y=f(x)的在點x0處可導，並稱這個極限為函數y=f(x)在點x0處的導數，記為f'(x0),即
也可記住
二、導數的幾何意義
曲線在點（x0，y0）的切線方程：
曲線在點（x0，y0）的法線方程：
註：曲線的 切線方程的斜率 與 曲線的 法線方程的斜率 互為負倒數
三、函數的可導性與連續性的關係
設函數y=f(x)在點x處可導，即
存在。由具有極限的函數與無窮小的關係知道
其中α為當 △x→0時的無窮小，上式兩邊同乘 △x 得
當 △x→0時，△y→0。函數yy=f(x)在點x處是連續的。所以，如果函數y=f(x)在點x處可導，那麼函數在該點必連續。
四、函數的求導法則
①函數的和、差、積、商的求導法則
和、差： （u ± v）』=u』± v』
記：和、差的導數分別求導，再和、差。
積：(uv)=u' v+u v' ， (Cu)'=C u'(C為常數)
簡記：乘積的導數是 前導後不導加上後導前不導（前 指 乘積中的第一個因子，後指 乘積中的第二個因子）。
商：(u/v)'=(u' v-u v') / v^2 （v不等於0）
簡記：商的導數是 子導母不導 減去 母導子不導 最後 除以 分母的平方（子 指分子，母指 分母）。
②反函數的求導法則
如果函數 x=f(y)在區間I內單調、可導且f '(x)≠0，那麼它的反函數在反函數的區間內也可導，且
記：反函數的導數 等於 原函數的導數的倒數
③複合函數的求導法則
如果u=g(x) 在點x可導，而y=f(u)在點u=g(x)可導，那麼複合函數 y=f[g(x)]在點x可導，其導數為
記：複合函數的導數 等於 一層一層往裡面求導，再乘積。
例如 (sin nx)'= n cos nx
④常用的導數公式
（1）( C )'=0
（2）(x^u)'=u x^(u-1)
（3）(sin x)'= cos x
（4） (cos x)'=-sin x
（5）(tan x)'= sec(^2) x
（6）(cot x)'=-csc(^2) x
（7）(sec x)'=sec x ·tanx
（8）(csc x)'=-csc x cot x
（9）(a^x)'=(a^x) · ln a
（10）(e^x)'=e^x
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
不要怕，學霸來幫你來了，這幾個有口訣可以幫助記憶：
口訣：
常為零，冪降次，對倒數，
指不變，正變餘，餘變正，
切割方，割乘切，反分式。
口訣含義：
常數的的導數為零。
冪函數的導數是指數減一，在把原指數做係數。
對數函數的導數是倒數。
指數的導數不變，在乘以 ln a。
正弦函數變餘弦函數，餘弦函數變正弦函數。
正切和餘切的導數分別是正割的平方和餘割的平方。
正割和餘割的導數分別是 正割乘以正切 和 餘割乘以餘切
反三角函數的導數都是分式。
五、高階導數
一般地，函數y=f(x)的導數 y'=f'(x)仍然是x的函數。我們把 y'=f'(x)的導數叫做函數y=f(x)的二階導數，記作 y'' 或
f'(x)叫做f(x)的一階導數，一階導數的導數是二階導數，二階導數的導數是三級導數。
...一般地，（n-1）階的導數叫n階導數。
y', y'' ,y''', y^(4), . . . . . .y^(n)
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