數學新天地:用一個連分式快速逼近萊布尼茲級數 - 電子通信和數學

2020-12-05 電子通信和數學

萊布尼茲發現了用其命名的萊布尼茲級數，這是數學中的一個重要級數，我們用積分或傅立葉級數很容易證明，如下就是高等數學中常用的證明方法

但個別數學愛好者卻有一個更為奇妙的發現，將一個連分式和萊布尼茲級數聯繫起來了，而且能迅速的逼近該級數

對於x>0，令n為正整數。我們定義Sn為：

Sn是級數(1)的第n個部分和，然後我們有了這個公式

上面的公式是那麼的出色，連分數足以讓一個很小的n的值很好的近似π的值。例如，如果n = 4,

取f(8)的，得到連分式的值

於是我們得到，而且誤差非常非常的小

關於上述連分式的來源，請看如下分析，π/4 等於

而關於上式的積分可以化成如下形式

而上述的連分式就對應如下的積分形式

這個式子其中的奧秘留給讀者自己思考

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