除了用「正多邊形逼近圓」的「割圓術」，還有哪些計算π的方法？

眾所周知，圓周率是圓周長與直徑的比值，而且是一個無理數，更進一步的說是一個超越數。由於計算的需要，古今中外的數學家從未停止對圓周率的計算，其中主要有7類方法：割圓術、分析法、沙-波法、橢圓積分法、概率法等。

割圓術

割圓術的流程是通過作圓的內接或外切正多邊形，計算多邊形的周長或面積，再將正多邊形的邊數增加一倍，算出其周長或面積；再增加，再計算……；隨著邊數的增加，多邊形的周長和面積就越接近圓的周長和面積，由此求得的圓周率也更精確。其中中國古人，用圓內接正多邊形逼近圓求圓周率；西方則通過內接與外切正多邊形兩面「夾攻」，用算術平均近似圓周率；有的通過周長，有的通過面積。

連分數

使用連分數計算圓周率的人很少，可能是因為計算量大。比如布朗開羅的連分數

級數

級數法是通過冪級數的展開，得到關於圓周率的解析式，屬於分析法。最早由萊布尼茨得到一個解析式，之後歐拉、馬庭等等數學家，獲得了大量的該類解析式，其收斂的速度有快與慢。

反正切式

使用最多的是反正切式，如維加在1789年發表的公式

沙-波法

「沙-波法「即「相關二次算法」，也叫「高斯-沙朗明-伯倫特法」。1976年，歐仁·沙拉明在《計算的數學》第30卷上，發表了重要論文《利用算術平均數與幾何平均數計算π值的新方法》。理察·波倫特於同年獨立發現了類似的新方法。該算法是基於算術一幾何平均值，和某些在19世紀原屬於高斯的思想，但高斯沒有將其與π的計算相聯繫。算法產生的近似值收斂速度，比任何經典公式都快得多。

之後又以此派生出其他的一些算法，都極大的提高了運算速度。

橢圓積分法

橢圓積分法建立在橢圓積分變換的理論上，首個使用的人是印度傳奇的天才數學家拉馬努金，他在1914年《模方程和π的逼近》一文中，給出了14個算π公式。其中之一，是關於橢圓積分變換理論和π的快速逼近之間，聯繫緊密而優美的「拉馬努金公式」：

但拉馬努金只給出了一些不充分的解釋，並沒有給出公式的證明。直到1987年，才由喬納森·波爾文和彼德·波爾文給出證明。1985年之後，橢圓積分法為一大批計算機算圓周率提供了新方法，多次刷新紀錄。

布豐投針

18世紀法國數學家布豐和勒克萊爾提出的投針問題，記載於布豐1777年出版的著作中：

在一平面上畫有一組間距為d的平行線，將一根長度為l（l<d）的針任意投擲到這個平面上，求此針與任一平行線相交的概率。

布豐證明了該針與任意平行線相交的概率為

基於此公式，可用概率方法得到圓周率的近似值。將投針試驗重複進行多次，並記下相交的次數，從而得到p的值，即可算出π的近似值。

• 1850年，一位叫沃爾夫的人在投擲5000多次後，得到π的近似值為3.1596;
• 1855年，英國史密斯投了3200次，得到的π值為3.1553。另一英國人福克斯投擲了僅1100次，卻得到了精確的3.1419;
• 用這種方法得到最好結果的是義大利人拉澤裡尼，在1901年投擲了3408次針，得到的圓周率近似值精確到6位小數。

比豐投針問題是第一個用幾何形式表達概率問題的例子，開創了使用隨機數處理確定性數學問題的先河。